Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2 40586
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2.k 𝑘𝐹
dfxlim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dfxlim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfxlim2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 dfxlim2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 dfxlim2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3dfxlim2v 40585 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))))
5 biid 251 . . 3 (𝐹𝐴𝐹𝐴)
6 breq2 4788 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
76rexralbidv 3205 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
8 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
98raleqdv 3292 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
10 dfxlim2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐹
11 nfcv 2912 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙
1210, 11nffv 6339 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑙)
13 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑘
14 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑥
1512, 13, 14nfbr 4831 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
16 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑙(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
17 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1817breq1d 4794 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1915, 16, 18cbvral 3315 . . . . . . . 8 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
209, 19syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2120cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
227, 21syl6bb 276 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2322cbvralv 3319 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
2423anbi2i 601 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
25 breq1 4787 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
2625rexralbidv 3205 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
278raleqdv 3292 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
2814, 13, 12nfbr 4831 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)
29 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
3017breq2d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3128, 29, 30cbvral 3315 . . . . . . . 8 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3227, 31syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3332cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3426, 33syl6bb 276 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3534cbvralv 3319 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3635anbi2i 601 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
375, 24, 363orbi123i 1158 . 2 ((𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙))) ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
384, 37syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1069   = wceq 1630  wcel 2144  wnfc 2899  wral 3060  wrex 3061   class class class wbr 4784  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274  cle 10276  cz 11578  cuz 11887  cli 14422  ~~>*clsxlim 40556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-lm 21253  df-xms 22344  df-ms 22345  df-xlim 40557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator