Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfuzi 11660
 Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 11225 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dfuzi {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4646 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥))
2 dfuzi.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
32peano5uzi 11658 . . 3 ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥)
41, 3mpgbir 1875 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
52zrei 11575 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
65leidi 10754 . . . . 5 𝑁𝑁
7 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑁𝑧𝑁𝑁))
87elrab 3504 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑁))
92, 6, 8mpbir2an 993 . . . 4 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
10 peano2uz2 11657 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
112, 10mpan 708 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
1211rgen 3060 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
13 zex 11578 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1413rabex 4964 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ V
15 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑁𝑥𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
16 eleq2 2828 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1716raleqbi1dv 3285 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1815, 17anbi12d 749 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})))
1914, 18elab 3490 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
209, 12, 19mpbir2an 993 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21 intss1 4644 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
2220, 21ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
234, 22eqssi 3760 1 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∀wral 3050  {crab 3054   ⊆ wss 3715  ∩ cint 4627   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131   ≤ cle 10267  ℤcz 11569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator