Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrcl3 38329
Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dftrcl3 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trcl 13772 . 2 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
2 relexp1g 13810 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) = 𝑟)
3 nnex 11064 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
4 1nn 11069 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
5 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑡 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑛))
65iuneq2d 4579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛))
7 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑡𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑘))
87cbviunv 4591 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘)
96, 8syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
109cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
1110ov2ssiunov2 38309 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
123, 4, 11mp3an23 1456 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
132, 12eqsstr3d 3673 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
14 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
15 1nn0 11346 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1610iunrelexpuztr 38328 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
1714, 15, 16mp3an23 1456 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
18 fvex 6239 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19 trcleq2lem 13776 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
2120alrimiv 1895 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22 elabgt 3379 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2318, 21, 22sylancr 696 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2413, 17, 23mpbir2and 977 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
25 intss1 4524 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
27 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
28 trcleq2lem 13776 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
2927, 28elab 3382 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠))
30 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ℕ = ℕ
3110iunrelexpmin1 38317 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3230, 31mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
333219.21bi 2097 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3429, 33syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3534ralrimiv 2994 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36 ssint 4525 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
3735, 36sylibr 224 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
3826, 37eqssd 3653 . . . 4 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
39 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑟 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑟𝑟𝑛))
4039iuneq2d 4579 . . . . 5 (𝑎 = 𝑟 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
41 eqid 2651 . . . . 5 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))
42 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
433, 42iunex 7189 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6321 . . . 4 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4538, 44eqtrd 2685 . . 3 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4645mpteq2ia 4773 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
471, 46eqtri 2673 1 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607   cint 4507   ciun 4552  cmpt 4762  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  cn 11058  0cn0 11330  cuz 11725  t+ctcl 13770  𝑟crelexp 13804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-trcl 13772  df-relexp 13805
This theorem is referenced by:  brfvtrcld  38330  fvtrcllb1d  38331  trclfvcom  38332  cnvtrclfv  38333  cotrcltrcl  38334  trclimalb2  38335  trclfvdecomr  38337  dfrtrcl4  38347  corcltrcl  38348  cotrclrcl  38351
  Copyright terms: Public domain W3C validator