Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrp2 29862
Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrp2 + = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2
StepHypRef Expression
1 ltpnf 12167 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
32pm4.71i 667 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4 df-3an 1074 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
53, 4bitr4i 267 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
6 elrp 12047 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7 0xr 10298 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10304 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
9 elioo2 12429 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞)))
107, 8, 9mp2an 710 . . 3 (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
115, 6, 103bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0(,)+∞))
1211eqriv 2757 1 + = (0(,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  +crp 12045  (,)cioo 12388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-rp 12046  df-ioo 12392
This theorem is referenced by:  omssubadd  30692
  Copyright terms: Public domain W3C validator