Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfringc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfringc2 42528
Description: Alternate definition of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfringc2.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
dfringc2.u (𝜑𝑈𝑉)
dfringc2.b (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
dfringc2.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
dfringc2.o (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dfringc2 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem dfringc2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfringc2.c . . 3 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 dfringc2.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
3 dfringc2.b . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
4 dfringc2.h . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
51, 2, 3, 4ringcval 42518 . 2 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻))
6 eqid 2760 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
7 fvexd 6364 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
8 inex1g 4953 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
103, 9eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
113, 4rhmresfn 42519 . . 3 (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
126, 7, 10, 11rescval2 16689 . 2 (𝜑 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
13 eqid 2760 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
14 eqidd 2761 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))))
15 dfringc2.o . . . . 5 (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16 eqid 2760 . . . . . 6 (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
1713, 2, 16estrccofval 16970 . . . . 5 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑𝑚 (Base‘(2nd𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd𝑣)) ↑𝑚 (Base‘(1st𝑣))) ↦ (𝑔𝑓))))
1815, 17eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑· = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑𝑚 (Base‘(2nd𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd𝑣)) ↑𝑚 (Base‘(1st𝑣))) ↦ (𝑔𝑓))))
1913, 2, 14, 18estrcval 16965 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
20 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥)))
2120mpt2exg 7413 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈𝑉) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) ∈ V)
222, 2, 21syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) ∈ V)
23 fvexd 6364 . . . 4 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) ∈ V)
2415, 23eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑· ∈ V)
25 rhmfn 42428 . . . . . 6 RingHom Fn (Ring × Ring)
26 fnfun 6149 . . . . . 6 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → Fun RingHom )
2725, 26mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → Fun RingHom )
28 sqxpexg 7128 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
2910, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
30 resfunexg 6643 . . . . 5 ((Fun RingHom ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
3127, 29, 30syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
324, 31eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ V)
33 inss1 3976 . . . 4 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
343, 33syl6eqss 3796 . . 3 (𝜑𝐵𝑈)
3519, 2, 22, 24, 10, 32, 34estrres 16980 . 2 (𝜑 → (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
365, 12, 353eqtrd 2798 1 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  {ctp 4325  cop 4327   × cxp 5264  cres 5268  ccom 5270  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  1st c1st 7331  2nd c2nd 7332  𝑚 cmap 8023  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  s cress 16060  Hom chom 16154  compcco 16155  cat cresc 16669  ExtStrCatcestrc 16963  Ringcrg 18747   RingHom crh 18914  RingCatcringc 42513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-resc 16672  df-estrc 16964  df-mhm 17536  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-rnghom 18917  df-ringc 42515
This theorem is referenced by:  rngcresringcat  42540
  Copyright terms: Public domain W3C validator