Theorem dford5 31836

Description: A class is ordinal iff it is a subclass of On and transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dford5	⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Proof of Theorem dford5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 7106	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
2		ordtr 5850	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3	1, 2	jca 555	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))
4		epweon 7100	. . . 4 ⊢ E We On
5		wess 5205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐴))
6	4, 5	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → E We 𝐴)
7		df-ord 5839	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴))
8	7	biimpri 218	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E We 𝐴) → Ord 𝐴)
9	8	ancoms 468	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
10	6, 9	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴) → Ord 𝐴)
11	3, 10	impbii 199	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ⊆ On ∧ Tr 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ⊆ wss 3680  Tr wtr 4860   E cep 5132   We wwe 5176  Ord word 5835  Oncon0 5836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-tr 4861  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-ord 5839  df-on 5840

This theorem is referenced by:  nosupno  32076