Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfon2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfon2lem6 31817
Description: Lemma for dfon2 31821. A transitive class of sets satisfying the new definition satisfies the new definition. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem6 ((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) → ∀𝑦((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑆))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfon2lem6
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑆𝑦𝑆)
2 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)))
43impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥))
54adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥))
65ad2ant2lr 799 . . . . . . . . . . . . 13 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥))
7 psseq2 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝑧𝑥𝑧𝑤))
87anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧)))
9 elequ2 2044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑧𝑥𝑧𝑤))
108, 9imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤)))
1110albidv 1889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤)))
1211rspccv 3337 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → (𝑤𝑦 → ∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤)))
136, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → (𝑤𝑦 → ∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤))
15 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑠𝑆)
16 psseq2 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑠 → (𝑧𝑥𝑧𝑠))
1716anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧)))
18 elequ2 2044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑠 → (𝑧𝑥𝑧𝑠))
1917, 18imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠)))
2019albidv 1889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠)))
2120rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠)))
23 psseq1 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑡 → (𝑧𝑠𝑡𝑠))
24 treq 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑡 → (Tr 𝑧 ↔ Tr 𝑡))
2523, 24anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑡 → ((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡)))
26 elequ1 2037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑡 → (𝑧𝑠𝑡𝑠))
2725, 26imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑡 → (((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) ↔ ((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠)))
2827cbvalv 2309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) ↔ ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠))
2922, 28syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠)))
3029impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦)) → ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠))
3130ad2ant2l 797 . . . . . . . . . . . 12 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠))
33 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
34 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ V
3533, 34dfon2lem5 31816 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠)) → (𝑤𝑠𝑤 = 𝑠𝑠𝑤))
36 3orrot 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝑠𝑤 = 𝑠𝑠𝑤) ↔ (𝑤 = 𝑠𝑠𝑤𝑤𝑠))
37 3orass 1057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = 𝑠𝑠𝑤𝑤𝑠) ↔ (𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠𝑤𝑤𝑠)))
3836, 37bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝑠𝑤 = 𝑠𝑠𝑤) ↔ (𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠𝑤𝑤𝑠)))
39 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑤 = 𝑠𝑤 ∈ (𝑆𝑦)))
40 elndif 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝑦 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑆𝑦))
4139, 40nsyli 155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑤𝑦 → ¬ 𝑤 = 𝑠))
4241imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ (𝑆𝑦) ∧ 𝑤𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠)
4342adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦)) ∧ 𝑤𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠)
4443adantll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠)
45 orel1 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 = 𝑠 → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠𝑤𝑤𝑠)) → (𝑠𝑤𝑤𝑠)))
46 trss 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑦𝑤𝑦))
47 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → ¬ 𝑠𝑦)
48 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤𝑦 → (𝑠𝑤𝑠𝑦))
4948con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑦 → (¬ 𝑠𝑦 → ¬ 𝑠𝑤))
5047, 49syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑤𝑦 → ¬ 𝑠𝑤))
5146, 50syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr 𝑦 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑤𝑦 → ¬ 𝑠𝑤)))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑤𝑦 → ¬ 𝑠𝑤)))
5352imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦)) ∧ 𝑤𝑦) → ¬ 𝑠𝑤)
5453adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ¬ 𝑠𝑤)
55 orel1 396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠𝑤 → ((𝑠𝑤𝑤𝑠) → 𝑤𝑠))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ((𝑠𝑤𝑤𝑠) → 𝑤𝑠))
5745, 56syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → (¬ 𝑤 = 𝑠 → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠𝑤𝑤𝑠)) → 𝑤𝑠)))
5844, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠𝑤𝑤𝑠)) → 𝑤𝑠))
5938, 58syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ((𝑤𝑠𝑤 = 𝑠𝑠𝑤) → 𝑤𝑠))
6035, 59syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → ((∀𝑧((𝑧𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑡((𝑡𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑠)) → 𝑤𝑠))
6114, 32, 60mp2and 715 . . . . . . . . . 10 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑠)
6261ex 449 . . . . . . . . 9 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → (𝑤𝑦𝑤𝑠))
6362ssrdv 3642 . . . . . . . 8 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → 𝑦𝑠)
64 dfpss2 3725 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑠 ↔ (𝑦𝑠 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑠))
65 psseq1 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑠𝑦𝑠))
66 treq 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑦 → (Tr 𝑧 ↔ Tr 𝑦))
6765, 66anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑦𝑠 ∧ Tr 𝑦)))
68 elequ1 2037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑠𝑦𝑠))
6967, 68imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) ↔ ((𝑦𝑠 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑠)))
7069spv 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) → ((𝑦𝑠 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑠))
7170expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) → (𝑦𝑠 → (Tr 𝑦𝑦𝑠)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧((𝑧𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑠) → (Tr 𝑦 → (𝑦𝑠𝑦𝑠)))
7322, 72syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → (Tr 𝑦 → (𝑦𝑠𝑦𝑠))))
7473com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → (Tr 𝑦 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑦𝑠𝑦𝑠))))
7574adantld 482 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥) → ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑦𝑠𝑦𝑠))))
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) → ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → (𝑦𝑠𝑦𝑠))))
7776imp32 448 . . . . . . . . 9 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → (𝑦𝑠𝑦𝑠))
7864, 77syl5bir 233 . . . . . . . 8 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → ((𝑦𝑠 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦𝑠))
7963, 78mpand 711 . . . . . . 7 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → (¬ 𝑦 = 𝑠𝑦𝑠))
8079orrd 392 . . . . . 6 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦))) → (𝑦 = 𝑠𝑦𝑠))
8180anassrs 681 . . . . 5 ((((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆𝑦)) → (𝑦 = 𝑠𝑦𝑠))
8281ralrimiva 2995 . . . 4 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠))
83 pssdif 3978 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
84 r19.2z 4093 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠)) → ∃𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠))
8584ex 449 . . . . . . 7 ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠)))
8683, 85syl 17 . . . . . 6 (𝑦𝑆 → (∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠)))
8786ad2antrl 764 . . . . 5 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠)))
88 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦𝑆𝑠𝑆))
8915, 88syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑦𝑆))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑦 = 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑦𝑆)))
91 trel 4792 . . . . . . . . . . 11 (Tr 𝑆 → ((𝑦𝑠𝑠𝑆) → 𝑦𝑆))
9291expd 451 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑆 → (𝑦𝑠 → (𝑠𝑆𝑦𝑆)))
9315, 92syl7 74 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑆 → (𝑦𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑦𝑆)))
9493ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑦𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑦𝑆)))
9590, 94jaod 394 . . . . . . 7 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ((𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → 𝑦𝑆)))
9695com23 86 . . . . . 6 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑠 ∈ (𝑆𝑦) → ((𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → 𝑦𝑆)))
9796rexlimdv 3059 . . . . 5 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∃𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → 𝑦𝑆))
9887, 97syld 47 . . . 4 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∀𝑠 ∈ (𝑆𝑦)(𝑦 = 𝑠𝑦𝑠) → 𝑦𝑆))
9982, 98mpd 15 . . 3 (((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) ∧ (𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → 𝑦𝑆)
10099ex 449 . 2 ((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) → ((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑆))
101100alrimiv 1895 1 ((Tr 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑧((𝑧𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧𝑥)) → ∀𝑦((𝑦𝑆 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1053  wal 1521  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  wpss 3608  c0 3948  Tr wtr 4785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-iun 4554  df-tr 4786  df-suc 5767
This theorem is referenced by:  dfon2lem7  31818  dfon2lem8  31819
  Copyright terms: Public domain W3C validator