MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflt2 12195
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2 < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 10313 . 2 Rel <
2 difss 3881 . . 3 ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3 lerel 10315 . . 3 Rel ≤
4 relss 5364 . . 3 (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≤ ∖ I )
6 ltrelxr 10312 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76brel 5326 . . 3 (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
8 lerelxr 10314 . . . . 5 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
92, 8sstri 3754 . . . 4 ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
109brel 5326 . . 3 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrltlen 12193 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
12 equcom 2101 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
13 vex 3344 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1413ideq 5431 . . . . . . . 8 (𝑥 I 𝑦𝑥 = 𝑦)
1512, 14bitr4i 267 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 I 𝑦)
1615necon3abii 2979 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
1716anbi2i 732 . . . . 5 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
1811, 17syl6bb 276 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19 brdif 4858 . . . 4 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
2018, 19syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
217, 10, 20pm5.21nii 367 . 2 (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
221, 5, 21eqbrriv 5373 1 < = ( ≤ ∖ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cdif 3713  wss 3716   class class class wbr 4805   I cid 5174   × cxp 5265  Rel wrel 5272  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293
This theorem is referenced by:  relt  20184  xrslt  30007
  Copyright terms: Public domain W3C validator