MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfle2 12171
Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfle2 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 10292 . 2 Rel ≤
2 ltrelxr 10289 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3 f1oi 6333 . . . . 5 ( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ*
4 f1of 6296 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5 fssxp 6219 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
72, 6unssi 3929 . . 3 ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8 relxp 5281 . . 3 Rel (ℝ* × ℝ*)
9 relss 5361 . . 3 (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
107, 8, 9mp2 9 . 2 Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11 lerelxr 10291 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211brel 5323 . . 3 (𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
137brel 5323 . . 3 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
14 xrleloe 12168 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
15 resieq 5563 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦𝑥 = 𝑦))
1615orbi2d 740 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
1714, 16bitr4d 271 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18 brun 4853 . . . 4 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
1917, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
2012, 13, 19pm5.21nii 367 . 2 (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
211, 10, 20eqbrriv 5370 1 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  cun 3711  wss 3713   class class class wbr 4802   I cid 5171   × cxp 5262  cres 5266  Rel wrel 5269  wf 6043  1-1-ontowf1o 6046  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator