MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffr4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffr4 5839
Description: Alternate definition of well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffr4 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dffr4
StepHypRef Expression
1 dffr3 5639 . 2 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
2 df-pred 5823 . . . . . 6 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦}))
32eqeq1i 2775 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
43rexbii 3188 . . . 4 (∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
54imbi2i 325 . . 3 (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
65albii 1894 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
71, 6bitr4i 267 1 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1628   = wceq 1630  wne 2942  wrex 3061  cin 3720  wss 3721  c0 4061  {csn 4314   Fr wfr 5205  ccnv 5248  cima 5252  Predcpred 5822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-br 4785  df-opab 4845  df-fr 5208  df-xp 5255  df-cnv 5257  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823
This theorem is referenced by:  frmin  32073
  Copyright terms: Public domain W3C validator