MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffi2 8496
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains 𝐴 and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑉,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3352 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑡 ∈ V
3 elfi 8486 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
42, 3mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
54biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
6 df-rex 3056 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥))
7 fiint 8404 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧))
8 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
98sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
109elpwid 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
11103ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝐴)
12 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝐴𝑧)
1311, 12sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝑧)
14 eqvisset 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑥 𝑥 ∈ V)
15 intex 4969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑥 ∈ V)
1614, 15sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
17163ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
18 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
1918sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20193ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
2113, 17, 203jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22213expib 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin)))
23 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)))
25 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑧 𝑥𝑧))
2625biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑥 → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧)))
2924, 28syldd 72 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑡𝑧)))
3029com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑧 → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3130alimdv 1994 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑧 → (∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
327, 31syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑧 → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3332imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
34 19.23v 2020 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
366, 35syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥𝑡𝑧))
375, 36sylan9 692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑡𝑧))
3837ssrdv 3750 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧)
3938ex 449 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4039alrimiv 2004 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
41 ssintab 4646 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4240, 41sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
43 ssfii 8492 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
44 fiin 8495 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
4544rgen2a 3115 . . . . . 6 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4645a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
47 fvex 6363 . . . . . 6 (fi‘𝐴) ∈ V
48 sseq2 3768 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (𝐴𝑧𝐴 ⊆ (fi‘𝐴)))
49 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5049raleqbi1dv 3285 . . . . . . . 8 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5150raleqbi1dv 3285 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5248, 51anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))))
5347, 52elab 3490 . . . . 5 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5443, 46, 53sylanbrc 701 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
55 intss1 4644 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5742, 56eqssd 3761 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
581, 57syl 17 1 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cint 4627  cfv 6049  Fincfn 8123  ficfi 8483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484
This theorem is referenced by:  fiss  8497  inficl  8498  dffi3  8504  fbssfi  21862
  Copyright terms: Public domain W3C validator