Theorem dfconngr1 27340

Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfconngr1	⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Distinct variable group:   𝑣,𝑔,𝑘,𝑛,𝑓,𝑝

Proof of Theorem dfconngr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-conngr 27339	. 2 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
2		difsnid 4486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}) = (Vtx‘𝑔))
3	2	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (Vtx‘𝑔) = (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}))
4	3	raleqdv 3283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
5		ralunb 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
6	4, 5	syl6bb 276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
8	7	0pthonv 27281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝)
9		oveq2 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘))
10	9	breqd 4815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
11	10	2exbidv 2001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
12	11	ralsng 4362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
13	8, 12	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
14	13	biantrud 529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
15	6, 14	bitr4d 271	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
16	15	ralbiia 3117	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
17		fvex 6362	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
18		raleq 3277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
19	18	raleqbi1dv 3285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
20		difeq1 3864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
21	20	raleqdv 3283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
22	21	raleqbi1dv 3285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
23	19, 22	bibi12d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → ((∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
24	17, 23	sbcie 3611	. . . . 5 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
25	16, 24	mpbir 221	. . . 4 ⊢ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
26		sbcbi1 3624	. . . 4 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) → ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
27	25, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
28	27	abbii 2877	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
29	1, 28	eqtri 2782	1 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∀wral 3050  [wsbc 3576   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Vtxcvtx 26073  PathsOncpthson 26820  ConnGraphcconngr 27338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-wlks 26705  df-wlkson 26706  df-trls 26799  df-trlson 26800  df-pths 26822  df-pthson 26824  df-conngr 27339

This theorem is referenced by:  isconngr1  27342