Theorem dfateq12d 41723

Description: Equality deduction for "defined at". (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfateq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
dfateq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dfateq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Proof of Theorem dfateq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfateq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dfateq12d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
3	2	dmeqd 5464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
4	1, 3	eleq12d 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝐺))
5	1	sneqd 4326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = {𝐵})
6	2, 5	reseq12d 5535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = (𝐺 ↾ {𝐵}))
7	6	funeqd 6053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ↔ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
8	4, 7	anbi12d 608	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵}))))
9		df-dfat 41710	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 41710	. 2 ⊢ (𝐺 defAt 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
11	8, 9, 10	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {csn 4314  dom cdm 5249   ↾ cres 5251  Fun wfun 6025   defAt wdfat 41707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-rab 3069  df-v 3351  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-br 4785  df-opab 4845  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-res 5261  df-fun 6033  df-dfat 41710

This theorem is referenced by:  afveq12d  41727