MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8clem 9054
Description: Lemma for dfac8c 9055. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
Assertion
Ref Expression
dfac8clem (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4451 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅))
2 elssuni 4601 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 𝐴)
32ad2antrl 699 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 𝐴)
4 simplr 744 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We 𝐴)
5 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑟 ∈ V
6 exse2 7251 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se 𝐴)
8 simprr 748 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9 wereu2 5246 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 We 𝐴𝑟 Se 𝐴) ∧ (𝑠 𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11 riotacl 6767 . . . . . . . . 9 (∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
133, 12sseldd 3751 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
141, 13sylan2b 573 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
15 dfac8clem.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
1614, 15fmptd 6527 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴)
17 difexg 4939 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
1817adantr 466 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19 uniexg 7101 . . . . . 6 (𝐴𝐵 𝐴 ∈ V)
2019adantr 466 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21 fex2 7267 . . . . 5 ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1475 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23 riotaex 6757 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
2415fvmpt2 6433 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2523, 24mpan2 663 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
261, 25sylbir 225 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2726adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2827, 12eqeltrd 2849 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
2928expr 444 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
3029ralrimiva 3114 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
31 nfv 1994 . . . . . . 7 𝑠 𝑧 ≠ ∅
32 nfmpt1 4879 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
3315, 32nfcxfr 2910 . . . . . . . . 9 𝑠𝐹
34 nfcv 2912 . . . . . . . . 9 𝑠𝑧
3533, 34nffv 6339 . . . . . . . 8 𝑠(𝐹𝑧)
3635nfel1 2927 . . . . . . 7 𝑠(𝐹𝑧) ∈ 𝑧
3731, 36nfim 1976 . . . . . 6 𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)
38 nfv 1994 . . . . . 6 𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
39 neeq1 3004 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑠))
41 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠𝑧 = 𝑠)
4240, 41eleq12d 2843 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4339, 42imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)))
4437, 38, 43cbvral 3315 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4530, 44sylibr 224 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
46 fveq1 6331 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
4746eleq1d 2834 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
4847imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
4948ralbidv 3134 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
5049spcegv 3443 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5122, 45, 50sylc 65 . . 3 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
5251ex 397 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5352exlimdv 2012 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  ∃!wreu 3062  Vcvv 3349  cdif 3718  wss 3721  c0 4061  {csn 4314   cuni 4572   class class class wbr 4784  cmpt 4861   Se wse 5206   We wwe 5207  wf 6027  cfv 6031  crio 6752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-riota 6753
This theorem is referenced by:  dfac8c  9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator