MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8 8942
Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 9302 and the Axiom of Choice ac7 9280. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8929 . 2 (CHOICE ↔ ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2 vex 3198 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3 vpwex 4840 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
4 raleq 3133 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
54exbidv 1848 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
63, 5spcv 3294 . . . . . 6 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
7 dfac8a 8838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
82, 6, 7mpsyl 68 . . . . 5 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9 dfac8b 8839 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
1110alrimiv 1853 . . 3 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
12 vex 3198 . . . . 5 𝑦 ∈ V
13 vuniex 6939 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
14 weeq2 5093 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑟 We 𝑥𝑟 We 𝑦))
1514exbidv 1848 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝑦))
1613, 15spcv 3294 . . . . 5 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑦)
17 dfac8c 8841 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝑦 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
1918alrimiv 1853 . . 3 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2011, 19impbii 199 . 2 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
211, 20bitri 264 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1479   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  Vcvv 3195  c0 3907  𝒫 cpw 4149   cuni 4427   We wwe 5062  dom cdm 5104  cfv 5876  cardccrd 8746  CHOICEwac 8923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-en 7941  df-card 8750  df-ac 8924
This theorem is referenced by:  dfac10  8944  weth  9302  dfac11  37451
  Copyright terms: Public domain W3C validator