Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac12a 9008
 Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12a (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12a
StepHypRef Expression
1 ssv 3658 . . . 4 dom card ⊆ V
2 eqss 3651 . . . 4 (dom card = V ↔ (dom card ⊆ V ∧ V ⊆ dom card))
31, 2mpbiran 973 . . 3 (dom card = V ↔ V ⊆ dom card)
4 dfac10 8997 . . 3 (CHOICE ↔ dom card = V)
5 unir1 8714 . . . 4 (𝑅1 “ On) = V
65sseq1i 3662 . . 3 ( (𝑅1 “ On) ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card)
73, 4, 63bitr4i 292 . 2 (CHOICE (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
8 dfac12r 9006 . 2 (∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑅1 “ On) ⊆ dom card)
97, 8bitr4i 267 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468  dom cdm 5143   “ cima 5146  Oncon0 5761  𝑅1cr1 8663  cardccrd 8799  CHOICEwac 8976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-oi 8456  df-har 8504  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-ac 8977 This theorem is referenced by:  dfac12  9009
 Copyright terms: Public domain W3C validator