MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac10c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac10c 9166
Description: Axiom of Choice equivalent: every set is equinumerous to an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac10c (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦 ∈ On 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfac10c
StepHypRef Expression
1 dfac10 9165 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 eqv 3356 . 2 (dom card = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ dom card)
3 isnum2 8975 . . 3 (𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥)
43albii 1895 . 2 (∀𝑥 𝑥 ∈ dom card ↔ ∀𝑥𝑦 ∈ On 𝑦𝑥)
51, 2, 43bitri 286 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦 ∈ On 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Oncon0 5865  cen 8110  cardccrd 8965  CHOICEwac 9142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-en 8114  df-card 8969  df-ac 9143
This theorem is referenced by:  dfac10b  9167
  Copyright terms: Public domain W3C validator