Users' Mathboxes Mathbox for Anthony Hart < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  df3nandALT1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem df3nandALT1 32371
Description: The double nand expressed in terms of pure nand. (Contributed by Anthony Hart, 2-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
df3nandALT1 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))))

Proof of Theorem df3nandALT1
StepHypRef Expression
1 iman 440 . . 3 ((𝜑 → ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒))))
2 imnan 438 . . . . . . . 8 ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ¬ (𝜓𝜒))
32biimpi 206 . . . . . . 7 ((𝜓 → ¬ 𝜒) → ¬ (𝜓𝜒))
43, 3jca 554 . . . . . 6 ((𝜓 → ¬ 𝜒) → (¬ (𝜓𝜒) ∧ ¬ (𝜓𝜒)))
52biimpri 218 . . . . . . 7 (¬ (𝜓𝜒) → (𝜓 → ¬ 𝜒))
65adantl 482 . . . . . 6 ((¬ (𝜓𝜒) ∧ ¬ (𝜓𝜒)) → (𝜓 → ¬ 𝜒))
74, 6impbii 199 . . . . 5 ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ (¬ (𝜓𝜒) ∧ ¬ (𝜓𝜒)))
8 df-nan 1446 . . . . . 6 ((𝜓𝜒) ↔ ¬ (𝜓𝜒))
98, 8anbi12i 732 . . . . 5 (((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒)) ↔ (¬ (𝜓𝜒) ∧ ¬ (𝜓𝜒)))
107, 9bitr4i 267 . . . 4 ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒)))
1110imbi2i 326 . . 3 ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ (𝜑 → ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒))))
12 df-nan 1446 . . . . 5 (((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒)) ↔ ¬ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒)))
1312anbi2i 729 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))) ↔ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒))))
1413notbii 310 . . 3 (¬ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜓𝜒))))
151, 11, 143bitr4i 292 . 2 ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))))
16 df-3nand 32370 . 2 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ (𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)))
17 df-nan 1446 . 2 ((𝜑 ⊼ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))))
1815, 16, 173bitr4i 292 1 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓𝜒) ⊼ (𝜓𝜒))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wnan 1445  w3nand 32369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-nan 1446  df-3nand 32370
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator