Theorem deranglem 31447

Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deranglem	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 8419	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin)
2		f1of 6290	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
3	2	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
4		elmapg 8028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐴))
5	3, 4	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐴)))
6	5	abssdv 3809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐴))
7		ssfi 8337	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
9	8	anidms 680	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131  {cab 2738   ⊆ wss 3707  ⟶wf 6037  –1-1-onto→wf1o 6040  (class class class)co 6805   ↑_𝑚 cmap 8015  Fincfn 8113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117

This theorem is referenced by:  derangf  31449  derangenlem  31452  subfaclefac  31457  subfacp1lem3  31463  subfacp1lem5  31465  subfacp1lem6  31466