Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deranglem 31447
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑓
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 8419 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin)
2 f1of 6290 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓:𝐴𝐴)
4 elmapg 8028 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐴))
53, 4syl5ibr 236 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐴)))
65abssdv 3809 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
7 ssfi 8337 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
81, 6, 7syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
98anidms 680 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  {cab 2738  wss 3707  wf 6037  1-1-ontowf1o 6040  (class class class)co 6805  𝑚 cmap 8015  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  derangf  31449  derangenlem  31452  subfaclefac  31457  subfacp1lem3  31463  subfacp1lem5  31465  subfacp1lem6  31466
  Copyright terms: Public domain W3C validator