Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangenlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangenlem 31452
Description: One half of derangen 31453. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangenlem ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables 𝑔 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 bren 8122 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 208 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
4 deranglem 31447 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
54adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
6 f1oco 6312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
76ad2ant2lr 801 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
8 f1ocnv 6302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
98ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1oco 6312 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
117, 9, 10syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
12 coass 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = (𝑠 ∘ (𝑔𝑠))
1312fveq1i 6345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧)
14 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
15 f1oco 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
1614, 9, 15syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
17 f1of 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
19 fvco3 6429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔𝑠):𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2018, 19sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2113, 20syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
22 f1of 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵𝐴)
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵𝐴)
24 fvco3 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠:𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2523, 24sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2623ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ∈ 𝐴)
27 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)
28 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → 𝑦 = (𝑠𝑧))
3028, 29neeq12d 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑠𝑧) → ((𝑔𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3130rspcv 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠𝑧) ∈ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦 → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3226, 27, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧))
3325, 32eqnetrd 2991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ≠ (𝑠𝑧))
3433necomd 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧))
35 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
3618ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴)
37 f1ocnvfv 6689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3835, 36, 37syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3938necon3d 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧)
4121, 40eqnetrd 2991 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
4241ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
43 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
4543, 44neeq12d 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ((((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4645cbvralv 3302 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4742, 46sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4811, 47jca 555 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4948ex 449 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
50 vex 3335 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
51 f1oeq1 6280 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐴))
52 fveq1 6343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
5352neeq1d 2983 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5453ralbidv 3116 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5551, 54anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)))
5650, 55elab 3482 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
57 vex 3335 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
5857, 50coex 7275 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑔) ∈ V
5957cnvex 7270 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
6058, 59coex 7275 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ V
61 f1oeq1 6280 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵))
62 fveq1 6343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓𝑦) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
6362neeq1d 2983 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6463ralbidv 3116 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6561, 64anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
6660, 65elab 3482 . . . . . . . 8 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6749, 56, 663imtr4g 285 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
68 vex 3335 . . . . . . . . . 10 ∈ V
69 f1oeq1 6280 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴1-1-onto𝐴))
70 fveq1 6343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = → (𝑓𝑦) = (𝑦))
7170neeq1d 2983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑦) ≠ 𝑦))
7271ralbidv 3116 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7369, 72anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
7468, 73elab 3482 . . . . . . . . 9 ( ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7556, 74anbi12i 735 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
768ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
77 f1ofo 6297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵onto𝐴)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵onto𝐴)
797adantrr 755 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
80 f1ofn 6291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
82 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
83 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴1-1-onto𝐴)
84 f1oco 6312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
8582, 83, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
86 f1ofn 6291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠) Fn 𝐴)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠) Fn 𝐴)
88 cocan2 6702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐵onto𝐴 ∧ (𝑠𝑔) Fn 𝐴 ∧ (𝑠) Fn 𝐴) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
8978, 81, 87, 88syl3anc 1473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
90 f1of1 6289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐴1-1𝐵)
9190ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1𝐵)
92 simprll 821 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
93 f1of 6290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴𝐴)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴𝐴)
95 f1of 6290 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴𝐴)
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴𝐴)
97 cocan1 6701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐴𝐴:𝐴𝐴) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9891, 94, 96, 97syl3anc 1473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9989, 98bitrd 268 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = ))
10099ex 449 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10175, 100syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10267, 101dom2d 8154 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
103102ex 449 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
104103exlimdv 2002 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
1053, 5, 104mp2d 49 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
106 enfii 8334 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
107106ancoms 468 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
108 deranglem 31447 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
110 hashdom 13352 . . . 4 (({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
111109, 5, 110syl2anc 696 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
112105, 111mpbird 247 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
113 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
114113derangval 31448 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
115107, 114syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
116113derangval 31448 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
117116adantl 473 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
118112, 115, 1173brtr4d 4828 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  {cab 2738  wne 2924  wral 3042   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ccnv 5257  ccom 5262   Fn wfn 6036  wf 6037  1-1wf1 6038  ontowfo 6039  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  cen 8110  cdom 8111  Fincfn 8113  cle 10259  chash 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304
This theorem is referenced by:  derangen  31453
  Copyright terms: Public domain W3C validator