Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangen2 31484
Description: Write the derangement number in terms of the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
derangen2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (𝑆‘(♯‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem derangen2
StepHypRef Expression
1 hashcl 13359 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacval 31483 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑆‘(♯‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))))
51, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑆‘(♯‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))))
6 hashfz1 13348 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
8 fzfid 12986 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
9 hashen 13349 . . . . 5 (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
108, 9mpancom 706 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
117, 10mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
122derangen 31482 . . 3 (((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))) = (𝐷𝐴))
1311, 12mpancom 706 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))) = (𝐷𝐴))
145, 13eqtr2d 2795 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (𝑆‘(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wral 3050   class class class wbr 4804  cmpt 4881  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  cen 8120  Fincfn 8123  1c1 10149  0cn0 11504  ...cfz 12539  chash 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332
This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  31492  subfacp1lem5  31494  derangfmla  31500
  Copyright terms: Public domain W3C validator