Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  degltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem degltlem1 24051
 Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
degltlem1 ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))

Proof of Theorem degltlem1
StepHypRef Expression
1 elun 3902 . 2 (𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ {-∞}))
2 nn0z 11601 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℤ)
3 zltlem1 11631 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
42, 3sylan 561 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
5 zre 11582 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℝ)
6 mnflt 12161 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → -∞ < 𝑌)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → -∞ < 𝑌)
8 peano2zm 11621 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℤ)
98zred 11683 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ)
109rexrd 10290 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌 − 1) ∈ ℝ*)
11 mnfle 12173 . . . . . . 7 ((𝑌 − 1) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → -∞ ≤ (𝑌 − 1))
137, 122thd 255 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
14 elsni 4331 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {-∞} → 𝑋 = -∞)
15 breq1 4787 . . . . . . 7 (𝑋 = -∞ → (𝑋 < 𝑌 ↔ -∞ < 𝑌))
16 breq1 4787 . . . . . . 7 (𝑋 = -∞ → (𝑋 ≤ (𝑌 − 1) ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1)))
1715, 16bibi12d 334 . . . . . 6 (𝑋 = -∞ → ((𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
1814, 17syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-∞} → ((𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)) ↔ (-∞ < 𝑌 ↔ -∞ ≤ (𝑌 − 1))))
1913, 18syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {-∞} → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1))))
2019impcom 394 . . 3 ((𝑋 ∈ {-∞} ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
214, 20jaoian 937 . 2 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
221, 21sylanb 562 1 ((𝑋 ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑌𝑋 ≤ (𝑌 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3719  {csn 4314   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  1c1 10138  -∞cmnf 10273  ℝ*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467  ℕ0cn0 11493  ℤcz 11578 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579 This theorem is referenced by:  degltp1le  24052  ply1divex  24115
 Copyright terms: Public domain W3C validator