MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1val 23901
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1val (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23885 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2651 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2651 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19613 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19603 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23866 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 23868 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
138, 12eqeltri 2726 . . . . . . . 8 0 ∈ V
14 suppimacnv 7351 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1513, 14mpan2 707 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1615imaeq2d 5501 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
17 imaco 5678 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1816, 17syl6eqr 2703 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
19 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
20 df1o2 7617 . . . . . . . . . 10 1𝑜 = {∅}
21 nn0ex 11336 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
22 0ex 4823 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
23 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))
2420, 21, 22, 23mapsncnv 7946 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
2519, 6, 4, 24coe1fval2 19628 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
2625cnveqd 5330 . . . . . . 7 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
27 cnvco 5340 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
28 cocnvcnv1 5684 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2927, 28eqtri 2673 . . . . . . 7 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
3026, 29syl6req 2702 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = 𝐴)
3130imaeq1d 5500 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3218, 31eqtrd 2685 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
33 fvex 6239 . . . . . 6 (coe1𝐹) ∈ V
3419, 33eqeltri 2726 . . . . 5 𝐴 ∈ V
35 suppimacnv 7351 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3635eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
3734, 13, 36mp2an 708 . . . 4 (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
3832, 37syl6eq 2701 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
3938supeq1d 8393 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
4011, 39eqtrd 2685 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  *cxr 10111   < clt 10112  0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147   mPoly cmpl 19401  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596   deg1 cdg1 23859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-cring 18596  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861
This theorem is referenced by:  deg1mul3  23920  deg1mul3le  23921
  Copyright terms: Public domain W3C validator