Theorem deg1val 23901

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23885	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19613	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19603	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23866	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 23868	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12		fvex 6239	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	8, 12	eqeltri 2726	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		suppimacnv 7351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
15	13, 14	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
16	15	imaeq2d 5501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
17		imaco 5678	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
18	16, 17	syl6eqr 2703	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
20		df1o2 7617	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 = {∅}
21		nn0ex 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22		0ex 4823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
23		eqid 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7946	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 19628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
26	25	cnveqd 5330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
27		cnvco 5340	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28		cocnvcnv1 5684	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
29	27, 28	eqtri 2673	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
30	26, 29	syl6req 2702	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
31	30	imaeq1d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
32	18, 31	eqtrd 2685	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
33		fvex 6239	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) ∈ V
34	19, 33	eqeltri 2726	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
35		suppimacnv 7351	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
36	35	eqcomd 2657	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
37	34, 13, 36	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
38	32, 37	syl6eq 2701	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
39	38	supeq1d 8393	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
40	11, 39	eqtrd 2685	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  0_gc0g 16147   mPoly cmpl 19401  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595  coe₁cco1 19596   deg₁ cdg1 23859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-cring 18596  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861

This theorem is referenced by:  deg1mul3  23920  deg1mul3le  23921