Theorem deg1tmle 24096

Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1tm.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
deg1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1tmle	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Proof of Theorem deg1tmle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		deg1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		deg1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		deg1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		deg1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		deg1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		deg1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		simpl1 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpl2 1230	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
10		simpl3 1232	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
11		simprl 811	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
12	10	nn0red 11564	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℝ)
13		simprr 813	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 < 𝑥)
14	12, 13	ltned 10385	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ≠ 𝑥)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	coe1tmfv2 19867	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
16	15	expr 644	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3104	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18	ply1tmcl 19864	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
20		nn0re 11513	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 10301	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ*)
22	21	3ad2ant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ*)
23		deg1tm.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))
25	23, 3, 18, 1, 24	deg1leb 24074	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
26	19, 22, 25	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
27	17, 26	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝ^*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℕ₀cn0 11504  Basecbs 16079   ·_𝑠 cvsca 16167  0_gc0g 16322  ._gcmg 17761  mulGrpcmgp 18709  Ringcrg 18767  var₁cv1 19768  Poly₁cpl1 19769  coe₁cco1 19770   deg₁ cdg1 24033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-vr1 19773  df-ply1 19774  df-coe1 19775  df-cnfld 19969  df-mdeg 24034  df-deg1 24035

This theorem is referenced by:  deg1tm  24097  deg1pwle  24098  ply1divex  24115