Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1scl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1scl 24093
 Description: A nonzero scalar polynomial has zero degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sclle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1sclle.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1sclle.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1sclle.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
deg1scl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
deg1scl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) = 0)

Proof of Theorem deg1scl
StepHypRef Expression
1 deg1sclle.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1sclle.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1sclle.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 deg1sclle.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1sclle 24092 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) ≤ 0)
653adant3 1126 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) ≤ 0)
7 simp1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
92, 4, 3, 8ply1sclcl 19871 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
1093adant3 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
11 deg1scl.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
12 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
132, 4, 11, 12, 3ply1scln0 19876 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐴𝐹) ≠ (0g𝑃))
141, 2, 12, 8deg1nn0cl 24068 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴𝐹) ≠ (0g𝑃)) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) ∈ ℕ0)
157, 10, 13, 14syl3anc 1476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) ∈ ℕ0)
16 nn0le0eq0 11528 . . 3 ((𝐷‘(𝐴𝐹)) ∈ ℕ0 → ((𝐷‘(𝐴𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴𝐹)) = 0))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → ((𝐷‘(𝐴𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐷‘(𝐴𝐹)) = 0))
186, 17mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐹0 ) → (𝐷‘(𝐴𝐹)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  0cc0 10142   ≤ cle 10281  ℕ0cn0 11499  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Ringcrg 18755  algSccascl 19526  Poly1cpl1 19762   deg1 cdg1 24034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036 This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25295  mon1pid  38309
 Copyright terms: Public domain W3C validator