Theorem deg1mulle2 24089

Description: Produce a bound on the product of two univariate polynomials given bounds on the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mulle2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1mulle2.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
deg1mulle2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mulle2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mulle2.j1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.k1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.j2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
deg1mulle2.k2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
deg1mulle2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Proof of Theorem deg1mulle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. 2 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3	2	deg1fval 24060	. 2 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
4		1on 7720	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
6		deg1addle.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2771	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
9		deg1mulle2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10	7, 8, 9	ply1bas 19780	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
11		deg1mulle2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑌)
12	7, 1, 11	ply1mulr 19812	. 2 ⊢ · = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
13		deg1mulle2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14		deg1mulle2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15		deg1mulle2.j1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
16		deg1mulle2.k1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		deg1mulle2.j2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
18		deg1mulle2.k2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
19	1, 3, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	mdegmulle2 24059	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  Oncon0 5866  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1_𝑜c1o 7706   + caddc 10141   ≤ cle 10277  ℕ₀cn0 11494  Basecbs 16064  ._rcmulr 16150  Ringcrg 18755   mPoly cmpl 19568  PwSer₁cps1 19760  Poly₁cpl1 19762   deg₁ cdg1 24034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036

This theorem is referenced by:  deg1mul2  24094  ply1divex  24116  hbtlem4  38222