Theorem deg1mul2 24044

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1mul2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		deg1mul2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1mul2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul2.fb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.gb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		deg1mul2.fz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		deg1mul2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 24018	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1mul2.gz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
13	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 24018	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	3, 7, 12, 13	syl3anc 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	11	nn0red 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
16	15	leidd 10757	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
17	14	nn0red 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
18	17	leidd 10757	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18	deg1mulle2 24039	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
20	1	ply1ring 19791	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	3, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	4, 5	ringcl 18732	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23	21, 6, 7, 22	syl3anc 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
24	11, 14	nn0addcld 11518	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
25		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12	coe1mul4 24030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
27		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	2, 1, 9, 4, 27, 28	deg1ldg 24022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
30	3, 7, 12, 29	syl3anc 1463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
31		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
32		eqid 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	28, 4, 1, 32	coe1f 19754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
34	7, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34, 14	ffvelrnd 6511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
37	36, 32, 25, 27	rrgeq0i 19462	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
38	31, 35, 37	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
39	38	necon3d 2941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
40	30, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
41	26, 40	eqnetrd 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
42		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
43	2, 1, 4, 27, 42	deg1ge 24028	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
44	23, 24, 41, 43	syl3anc 1463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
45	2, 1, 4	deg1xrcl 24012	. . . 4 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
46	23, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
47	24	nn0red 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 10252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
49		xrletri3 12149	. . 3 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
50	46, 48, 49	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
51	19, 44, 50	mpbir2and 995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920   class class class wbr 4792  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   + caddc 10102  ℝ^*cxr 10236   ≤ cle 10238  ℕ₀cn0 11455  Basecbs 16030  ._rcmulr 16115  0_gc0g 16273  Ringcrg 18718  RLRegcrlreg 19452  Poly₁cpl1 19720  coe₁cco1 19721   deg₁ cdg1 23984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-subrg 18951  df-rlreg 19456  df-psr 19529  df-mpl 19531  df-opsr 19533  df-psr1 19723  df-ply1 19725  df-coe1 19726  df-cnfld 19920  df-mdeg 23985  df-deg1 23986

This theorem is referenced by:  ply1domn  24053  ply1divmo  24065  fta1glem1  24095  mon1psubm  38255  deg1mhm  38256