MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 24044
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 deg1mul2.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1mul2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1mul2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 deg1mul2.t . . 3 · = (.r𝑃)
6 deg1mul2.fb . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1mul2.gb . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 deg1mul2.fz . . . 4 (𝜑𝐹0 )
9 deg1mul2.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
102, 1, 9, 4deg1nn0cl 24018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
113, 6, 8, 10syl3anc 1463 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
12 deg1mul2.gz . . . 4 (𝜑𝐺0 )
132, 1, 9, 4deg1nn0cl 24018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
143, 7, 12, 13syl3anc 1463 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
1511nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
1615leidd 10757 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
1714nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
1817leidd 10757 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18deg1mulle2 24039 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
201ply1ring 19791 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
213, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
224, 5ringcl 18732 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2321, 6, 7, 22syl3anc 1463 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2411, 14nn0addcld 11518 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
25 eqid 2748 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12coe1mul4 24030 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
27 eqid 2748 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2748 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
292, 1, 9, 4, 27, 28deg1ldg 24022 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
303, 7, 12, 29syl3anc 1463 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
31 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
32 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3328, 4, 1, 32coe1f 19754 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3534, 14ffvelrnd 6511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3736, 32, 25, 27rrgeq0i 19462 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3831, 35, 37syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3938necon3d 2941 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4030, 39mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4126, 40eqnetrd 2987 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
42 eqid 2748 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
432, 1, 4, 27, 42deg1ge 24028 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4423, 24, 41, 43syl3anc 1463 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
452, 1, 4deg1xrcl 24012 . . . 4 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4623, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4724nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
4847rexrd 10252 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
49 xrletri3 12149 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5046, 48, 49syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5119, 44, 50mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801   + caddc 10102  *cxr 10236  cle 10238  0cn0 11455  Basecbs 16030  .rcmulr 16115  0gc0g 16273  Ringcrg 18718  RLRegcrlreg 19452  Poly1cpl1 19720  coe1cco1 19721   deg1 cdg1 23984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-subrg 18951  df-rlreg 19456  df-psr 19529  df-mpl 19531  df-opsr 19533  df-psr1 19723  df-ply1 19725  df-coe1 19726  df-cnfld 19920  df-mdeg 23985  df-deg1 23986
This theorem is referenced by:  ply1domn  24053  ply1divmo  24065  fta1glem1  24095  mon1psubm  38255  deg1mhm  38256
  Copyright terms: Public domain W3C validator