Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mhm 38305
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mhm.z 0 = (0g𝑃)
deg1mhm.y 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (ℂflds0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1domn 24102 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
5 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
63, 4, 5isdomn3 38302 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
76simprbi 483 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
109submmnd 17575 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12 nn0subm 20023 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (ℂflds0)
1413submmnd 17575 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 555 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
1817, 1, 3deg1xrf 24060 . . . . . . 7 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐷:𝐵⟶ℝ*𝐷 Fn 𝐵)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐵
21 difss 3880 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22 fnssres 6165 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 710 . . . . 5 (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25 fvres 6369 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
27 domnring 19518 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 3875 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
3029adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
31 eldifsni 4466 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
3231adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 24067 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3526, 34eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
3635ralrimiva 3104 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37 ffnfv 6552 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
3824, 36, 37sylanbrc 701 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39 eqid 2760 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40 eqid 2760 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4127adantr 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝐵)
4331ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥0 )
44 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2760 . . . . . . . 8 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 24073 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48 eldifi 3875 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
4948ad2antll 767 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦𝐵)
50 eldifsni 4466 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦0 )
5150ad2antll 767 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 24093 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
53 domnring 19518 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 18781 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
582adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 19520 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61 eldifsn 4462 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63 fvres 6369 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
65 fvres 6369 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷𝑦))
6625, 65oveqan12d 6833 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6766adantl 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
6968ralrimivva 3109 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70 eqid 2760 . . . . . . . 8 (1r𝑃) = (1r𝑃)
713, 70ringidcl 18788 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
73 domnnzr 19517 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 19482 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ 0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ≠ 0 )
76 eldifsn 4462 . . . . . 6 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑃) ≠ 0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 701 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 fvres 6369 . . . . 5 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
805, 70ringidval 18723 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
819, 80subm0 17577 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r𝑃) = (0g𝑌))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) = (0g𝑌))
8382fveq2d 6357 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)))
84 domnnzr 19517 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2760 . . . . . . 7 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
861, 70, 85, 17mon1pid 38303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷‘(1r𝑃)) = 0))
8786simprd 482 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2802 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)
9038, 69, 893jca 1123 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0))
915, 3mgpbas 18715 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
929, 91ressbas2 16153 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94 nn0sscn 11509 . . . 4 0 ⊆ ℂ
95 cnfldbas 19972 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9613, 95ressbas2 16153 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘𝑁)
98 fvex 6363 . . . . . 6 (Base‘𝑃) ∈ V
993, 98eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ V
100 difexg 4960 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
10199, 100ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
1025, 40mgpplusg 18713 . . . . 5 (.r𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
1039, 102ressplusg 16215 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑃) = (+g𝑌))
104101, 103ax-mp 5 . . 3 (.r𝑃) = (+g𝑌)
105 nn0ex 11510 . . . 4 0 ∈ V
106 cnfldadd 19973 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
10713, 106ressplusg 16215 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g𝑁))
108105, 107ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑁)
109 eqid 2760 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
110 cnfld0 19992 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
11113, 110subm0 17577 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
11212, 111ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑁)
11393, 97, 104, 108, 109, 112ismhm 17558 . 2 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)))
11416, 90, 113sylanbrc 701 1 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  cres 5268   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   + caddc 10151  *cxr 10285  0cn0 11504  Basecbs 16079  s cress 16080  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554  SubMndcsubmnd 17555  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  NzRingcnzr 19479  RLRegcrlreg 19501  Domncdomn 19502  Poly1cpl1 19769  coe1cco1 19770  fldccnfld 19968   deg1 cdg1 24033  Monic1pcmn1 24104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-nzr 19480  df-rlreg 19505  df-domn 19506  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-vr1 19773  df-ply1 19774  df-coe1 19775  df-cnfld 19969  df-mdeg 24034  df-deg1 24035  df-mon1 24109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator