MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1leb 23836
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1leb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23821 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2620 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2620 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19546 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19536 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23802 . . 3 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 23805 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
12 df1o2 7557 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
13 nn0ex 11283 . . . . 5 0 ∈ V
14 0ex 4781 . . . . 5 ∅ ∈ V
15 eqid 2620 . . . . 5 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 7890 . . . 4 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ofo 6131 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
18 breq2 4648 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
19 fveq2 6178 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴𝑥))
2019eqeq1d 2622 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴𝑥) = 0 ))
2118, 20imbi12d 334 . . . . 5 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2221cbvfo 6529 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3 (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
24 fveq1 6177 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
25 fvex 6188 . . . . . . . . . 10 (𝑦‘∅) ∈ V
2624, 15, 25fvmpt 6269 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
2726fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
2827adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
3029fvcoe1 19558 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3130adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3228, 31eqtr4d 2657 . . . . . 6 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹𝑦))
3332eqeq1d 2622 . . . . 5 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
3433imbi2d 330 . . . 4 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3534ralbidva 2982 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3623, 35syl5bbr 274 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3711, 36bitr4d 271 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  c0 3907   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538  𝑚 cmap 7842  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  0cn0 11277  Basecbs 15838  0gc0g 16081   mPoly cmpl 19334  PwSer1cps1 19526  Poly1cpl1 19528  coe1cco1 19529   deg1 cdg1 23795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-psr 19337  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-ply1 19533  df-coe1 19534  df-cnfld 19728  df-mdeg 23796  df-deg1 23797
This theorem is referenced by:  deg1lt  23838  deg1tmle  23858
  Copyright terms: Public domain W3C validator