Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1leb 24075
 Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1leb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 24060 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2771 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19780 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19770 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 24041 . . 3 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 24044 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
12 df1o2 7726 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
13 nn0ex 11500 . . . . 5 0 ∈ V
14 0ex 4924 . . . . 5 ∅ ∈ V
15 eqid 2771 . . . . 5 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 8059 . . . 4 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ofo 6285 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
18 breq2 4790 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
19 fveq2 6332 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴𝑥))
2019eqeq1d 2773 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴𝑥) = 0 ))
2118, 20imbi12d 333 . . . . 5 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2221cbvfo 6687 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3 (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
24 fveq1 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
25 fvex 6342 . . . . . . . . . 10 (𝑦‘∅) ∈ V
2624, 15, 25fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
2726fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
2827adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
3029fvcoe1 19792 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3130adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3228, 31eqtr4d 2808 . . . . . 6 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹𝑦))
3332eqeq1d 2773 . . . . 5 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
3433imbi2d 329 . . . 4 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3534ralbidva 3134 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3623, 35syl5bbr 274 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3711, 36bitr4d 271 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∅c0 4063   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  –onto→wfo 6029  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706   ↑𝑚 cmap 8009  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  ℕ0cn0 11494  Basecbs 16064  0gc0g 16308   mPoly cmpl 19568  PwSer1cps1 19760  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763   deg1 cdg1 24034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036 This theorem is referenced by:  deg1lt  24077  deg1tmle  24097
 Copyright terms: Public domain W3C validator