Theorem deg1leb 23836

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1leb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23821	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2620	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2620	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19546	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19536	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23802	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegleb 23805	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
12		df1o2 7557	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
13		nn0ex 11283	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
14		0ex 4781	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
15		eqid 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))
16	12, 13, 14, 15	mapsnf1o2 7890	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17		f1ofo 6131	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
18		breq2 4648	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
19		fveq2 6178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘𝑥))
20	19	eqeq1d 2622	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑥) = 0 ))
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
22	21	cbvfo 6529	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
23	16, 17, 22	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
24		fveq1 6177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
25		fvex 6188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦‘∅) ∈ V
26	24, 15, 25	fvmpt 6269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
27	26	fveq2d 6182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
30	29	fvcoe1 19558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
31	30	adantlr 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
32	28, 31	eqtr4d 2657	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
33	32	eqeq1d 2622	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
34	33	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
35	34	ralbidva 2982	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
36	23, 35	syl5bbr 274	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
37	11, 36	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∅c0 3907   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  –onto→wfo 5874  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1_𝑜c1o 7538   ↑_𝑚 cmap 7842  ℝ^*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℕ₀cn0 11277  Basecbs 15838  0_gc0g 16081   mPoly cmpl 19334  PwSer₁cps1 19526  Poly₁cpl1 19528  coe₁cco1 19529   deg₁ cdg1 23795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-psr 19337  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-ply1 19533  df-coe1 19534  df-cnfld 19728  df-mdeg 23796  df-deg1 23797

This theorem is referenced by:  deg1lt  23838  deg1tmle  23858