MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 23972
Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23960 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2724 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2724 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19688 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19678 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23941 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 19748 . . 3 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 23946 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 19700 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1178 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6396 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6308 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2761 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 2955 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 743 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
26 ancom 465 . . . . . 6 (((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2725, 26syl6bb 276 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2827rexbidva 3151 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
29 df1o2 7692 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
30 nn0ex 11411 . . . . . 6 0 ∈ V
31 0ex 4898 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3229, 30, 31, 18mapsnf1o2 8022 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
33 f1ofo 6257 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
34 eqeq1 2728 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
35 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3635neeq1d 2955 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3734, 36anbi12d 749 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3837cbvexfo 6660 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3932, 33, 38mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
4028, 39syl6bb 276 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
411, 4, 11, 6deg1nn0cl 23968 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
42 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4342neeq1d 2955 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4443ceqsrexv 3440 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4640, 45bitrd 268 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4713, 46mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wrex 3015  c0 4023  cmpt 4837  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  1𝑜c1o 7673  𝑚 cmap 7974  0cn0 11405  Basecbs 15980  0gc0g 16223  Ringcrg 18668   mPoly cmpl 19476  PwSer1cps1 19668  Poly1cpl1 19670  coe1cco1 19671   deg1 cdg1 23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-psr 19479  df-mpl 19481  df-opsr 19483  df-psr1 19673  df-ply1 19675  df-coe1 19676  df-cnfld 19870  df-mdeg 23935  df-deg1 23936
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  23973  deg1ldgdomn  23974  deg1add  23983  deg1mul2  23994  drnguc1p  24050
  Copyright terms: Public domain W3C validator