MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ge 24078
Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ge ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1ge
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1leb.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1leb.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
41, 2, 3deg1xrcl 24062 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
5 nn0re 11514 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ)
65rexrd 10302 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ*)
7 xrltnle 10318 . . . . 5 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
84, 6, 7syl2an 495 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
9 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
111, 2, 3, 9, 10deg1lt 24077 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
12113expia 1115 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
138, 12sylbird 250 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹) → (𝐴𝐺) = 0 ))
1413necon1ad 2950 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐺) ≠ 0𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
15143impia 1110 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  0cn0 11505  Basecbs 16080  0gc0g 16323  Poly1cpl1 19770  coe1cco1 19771   deg1 cdg1 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-psr 19579  df-mpl 19581  df-opsr 19583  df-psr1 19773  df-ply1 19775  df-coe1 19776  df-cnfld 19970  df-mdeg 24035  df-deg1 24036
This theorem is referenced by:  deg1add  24083  deg1mul2  24094  deg1tm  24098  plypf1  24188
  Copyright terms: Public domain W3C validator