MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplitOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplitOLD 15997
Description: Obsolete version of decsplit 15993 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0OLD.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplitOLD.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplitOLD.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplitOLD.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplitOLD.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplitOLD.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplitOLD ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplitOLD
StepHypRef Expression
1 10nn0OLD 11518 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
21nn0cni 11505 . . . . 5 10 ∈ ℂ
3 decsplit0OLD.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11505 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
5 decsplitOLD.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 13084 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
72, 5, 6mp2an 664 . . . . . 6 (10↑𝑀) ∈ ℂ
84, 7mulcli 10246 . . . . 5 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
92, 8mulcli 10246 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
10 decsplitOLD.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
111, 10nn0mulcli 11532 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
1211nn0cni 11505 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
13 decsplitOLD.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1413nn0cni 11505 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
159, 12, 14addassi 10249 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
1610nn0cni 11505 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
172, 8, 16adddii 10251 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplitOLD.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 6803 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2794 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 6802 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2215, 21eqtr3i 2794 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplitOLD.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
247, 2mulcomi 10247 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
251, 5, 23, 24numexpp1 15988 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2625oveq2i 6803 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
274, 2, 7mul12i 10432 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
2826, 27eqtri 2792 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
29 dfdecOLD 11696 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3028, 29oveq12i 6804 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
31 dfdecOLD 11696 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3222, 30, 313eqtr4i 2802 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  cc 10135  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  10c10 11279  0cn0 11493  cdc 11694  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-10OLD 11288  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator