MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplit 15994
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplit ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit
StepHypRef Expression
1 10nn0 11723 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
2 decsplit0.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
3 decsplit.4 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
41, 3nn0expcli 13093 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℕ0
52, 4nn0mulcli 11538 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℕ0
61, 5nn0mulcli 11538 . . . . 5 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℕ0
76nn0cni 11511 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
8 decsplit.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
91, 8nn0mulcli 11538 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
109nn0cni 11511 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
11 decsplit.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11511 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
137, 10, 12addassi 10254 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
141nn0cni 11511 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
155nn0cni 11511 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
168nn0cni 11511 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1714, 15, 16adddii 10256 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplit.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 6807 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2795 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 6806 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2213, 21eqtr3i 2795 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplit.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
244nn0cni 11511 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℂ
2524, 14mulcomi 10252 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
261, 3, 23, 25numexpp1 15989 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2726oveq2i 6807 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
282nn0cni 11511 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2928, 14, 24mul12i 10437 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
3027, 29eqtri 2793 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
31 dfdec10 11704 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3230, 31oveq12i 6808 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
33 dfdec10 11704 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3422, 32, 333eqtr4i 2803 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  0cn0 11499  cdc 11700  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator