Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsmflem 41295
 Description: A non-increasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsmflem.x 𝑥𝜑
decsmflem.y 𝑦𝜑
decsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
decsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
decsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
decsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
decsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
decsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
decsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
decsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
decsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
decsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑦,𝐶   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem decsmflem
StepHypRef Expression
1 decsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 10134 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 decsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
5 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 decsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 3646 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 decsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 decsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 40892 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13syl5eqel 2734 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 decsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 decsmflem.c . . . . . . 7 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
17 nfrab1 3152 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
184, 17nfcxfr 2791 . . . . . . . 8 𝑥𝑌
19 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥*
20 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥 <
2118, 19, 20nfsup 8398 . . . . . . 7 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
2216, 21nfcxfr 2791 . . . . . 6 𝑥𝐶
2322, 18nfel 2806 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2415, 23nfan 1868 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
258adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 decsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
28 decsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
30 decsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3324, 25, 27, 29, 31, 4, 16, 32, 1pimdecfgtioc 41246 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 3840 . . . . 5 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534eqeq2d 2661 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑌 = (𝑏𝐴) ↔ 𝑌 = (𝐸𝐴)))
3635rspcev 3340 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3714, 33, 36syl2anc 694 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
38 decsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3911, 12iooborel 40887 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
4038, 39eqeltri 2726 . . . . 5 𝐷𝐵
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4323nfn 1824 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4415, 43nfan 1868 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
45 decsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
46 nfv 1883 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4745, 46nfan 1868 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
488adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4926adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
5028adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
5130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
52 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5344, 47, 48, 49, 50, 51, 4, 16, 52, 38pimdecfgtioo 41248 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
54 ineq1 3840 . . . . 5 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5554eqeq2d 2661 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑌 = (𝑏𝐴) ↔ 𝑌 = (𝐷𝐴)))
5655rspcev 3340 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5742, 53, 56syl2anc 694 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5837, 57pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  topGenctg 16145  SalGencsalgen 40850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-fl 12633  df-topgen 16151  df-top 20747  df-bases 20798  df-salg 40847  df-salgen 40851 This theorem is referenced by:  decsmf  41296
 Copyright terms: Public domain W3C validator