Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsmf 41495
 Description: A real-valued, non-increasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsmf.x 𝑥𝜑
decsmf.y 𝑦𝜑
decsmf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
decsmf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
decsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1995 . 2 𝑎𝜑
2 decsmf.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22785 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2846 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 decsmf.b . . 3 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6salgencld 41084 . 2 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
8 decsmf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
95, 6unisalgen2 41089 . . . 4 (𝜑 𝐵 = 𝐽)
102unieqi 4583 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝐽 = (topGen‘ran (,)))
12 uniretop 22786 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1312eqcomi 2780 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ℝ
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 (topGen‘ran (,)) = ℝ)
159, 11, 143eqtrrd 2810 . . 3 (𝜑 → ℝ = 𝐵)
168, 15sseqtrd 3790 . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
17 decsmf.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 decsmf.x . . . . 5 𝑥𝜑
19 nfv 1995 . . . . 5 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
2018, 19nfan 1980 . . . 4 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
21 decsmf.y . . . . 5 𝑦𝜑
22 nfv 1995 . . . . 5 𝑦 𝑎 ∈ ℝ
2321, 22nfan 1980 . . . 4 𝑦(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
248adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2517frexr 40120 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2625adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27 decsmf.i . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
28 breq1 4789 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
29 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
3029breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑤)))
3128, 30imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑤𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑤))))
32 breq2 4790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑧))
33 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
3433breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑤)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))))
3631, 35cbvral2v 3328 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
3727, 36sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
3837adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
3938, 36sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
40 rexr 10287 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
4140adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42 eqid 2771 . . . 4 {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)}
43 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
4443breq2d 4798 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹𝑥)))
4544cbvrabv 3349 . . . . 5 {𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)} = {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)}
4645supeq1i 8509 . . . 4 sup({𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)}, ℝ*, < )
47 eqid 2771 . . . 4 (-∞(,)sup({𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)}, ℝ*, < ))
48 eqid 2771 . . . 4 (-∞(,]sup({𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤𝐴𝑎 < (𝐹𝑤)}, ℝ*, < ))
4920, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48decsmflem 41494 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} = (𝑏𝐴))
507elexd 3366 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
51 reex 10229 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5352, 8ssexd 4939 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
54 elrest 16296 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} = (𝑏𝐴)))
5550, 53, 54syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} = (𝑏𝐴)))
5655adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} = (𝑏𝐴)))
5749, 56mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝐵t 𝐴))
581, 7, 16, 17, 57issmfgtd 41489 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  ℝcr 10137  -∞cmnf 10274  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  (,)cioo 12380  (,]cioc 12381   ↾t crest 16289  topGenctg 16306  Topctop 20918  SAlgcsalg 41045  SalGencsalgen 41049  SMblFncsmblfn 41429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-fl 12801  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-top 20919  df-bases 20971  df-salg 41046  df-salgen 41050  df-smblfn 41430 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator