MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmac 11777
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decrmanc.p 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decrmac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decrmanc.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11508 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decrmanc.n . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decrmanc.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 11723 . 2 𝑁 = 0𝑁
7 decrmanc.p . 2 𝑃 ∈ ℕ0
8 decrmac.f . 2 𝐹 ∈ ℕ0
9 decrmac.g . 2 𝐺 ∈ ℕ0
109nn0cni 11505 . . . . 5 𝐺 ∈ ℂ
1110addid2i 10425 . . . 4 (0 + 𝐺) = 𝐺
1211oveq2i 6803 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13 decrmac.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
1412, 13eqtri 2792 . 2 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15 decrmac.2 . 2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15decmac 11766 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142  0cn0 11493  cdc 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-dec 11695
This theorem is referenced by:  2exp16  16003  139prm  16037  163prm  16038  1259lem1  16044  1259lem3  16046  1259lem4  16047  2503lem1  16050  2503lem2  16051  4001lem1  16054  4001lem3  16056  4001prm  16058  log2ub  24896  139prmALT  42029  127prm  42033
  Copyright terms: Public domain W3C validator