Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatmulsumfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatmulsumfsupp 20801
 Description: Lemma 0 for pm2mpmhm 20848. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmatmul.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatmulsumfsupp.m · = (.r𝐴)
decpmatmulsumfsupp.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmatmulsumfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘)))))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑙   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘,𝑙   𝐴,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘,𝑙)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑙)   · (𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑘,𝑙)

Proof of Theorem decpmatmulsumfsupp
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑠 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmatmulsumfsupp.0 . . . 4 0 = (0g𝐴)
2 fvex 6364 . . . 4 (0g𝐴) ∈ V
31, 2eqeltri 2836 . . 3 0 ∈ V
43a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 0 ∈ V)
5 ovexd 6845 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘))))) ∈ V)
6 oveq2 6823 . . . 4 (𝑙 = 𝑛 → (0...𝑙) = (0...𝑛))
7 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑛 → (𝑙𝑘) = (𝑛𝑘))
87oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑙 = 𝑛 → (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘)) = (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘)))
98oveq2d 6831 . . . 4 (𝑙 = 𝑛 → ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘))) = ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))
106, 9mpteq12dv 4886 . . 3 (𝑙 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘)))))
1110oveq2d 6831 . 2 (𝑙 = 𝑛 → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘))))) = (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))))
12 simpll 807 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
13 simplr 809 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
14 decpmatmul.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
15 decpmatmul.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
1614, 15pmatring 20721 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
1716anim1i 593 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐶 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
18 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
1917, 18sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
20 decpmatmul.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐶)
21 eqid 2761 . . . . . . 7 (.r𝐶) = (.r𝐶)
2220, 21ringcl 18782 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝐵)
2319, 22syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝐵)
24 eqid 2761 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2514, 15, 20, 24pmatcoe1fsupp 20729 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)))
2612, 13, 23, 25syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)))
27 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑖 → (𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏) = (𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))
2827fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑖 → (coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏)) = (coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏)))
2928fveq1d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑖 → ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛))
3029eqeq1d 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑖 → (((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)))
31 oveq2 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑗 → (𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏) = (𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))
3231fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑗 → (coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏)) = (coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗)))
3332fveq1d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑗 → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛))
3433eqeq1d 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑗 → (((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3530, 34rspc2va 3463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3635expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3736adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
38373impib 1109 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
3938mpt2eq3dva 6886 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
40 decpmatmul.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4140, 24mat0op 20448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
421, 41syl5eq 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4342ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → 0 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4439, 43eqtr4d 2798 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )
4544ex 449 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 ))
4645imim2d 57 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
4746ralimdva 3101 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
4847reximdv 3155 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 ((coe1‘(𝑎(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑏))‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
4926, 48mpd 15 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 ))
50 decpmatmulsumfsupp.m . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝐴)
5150oveqi 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))) = ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘)))
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))) = ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))
5352mpteq2dv 4898 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘)))))
5453oveq2d 6831 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))))
55 simpllr 817 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
56 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
57 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5814, 15, 20, 40decpmatmul 20800 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) decompPMat 𝑛) = (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))))
5955, 56, 57, 58syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) decompPMat 𝑛) = (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))))
6015, 20decpmatval 20793 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝐵𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)))
6123, 60sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)))
6254, 59, 613eqtr2d 2801 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)))
6362eqeq1d 2763 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = 0 ↔ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 ))
6463imbi2d 329 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
6564ralbidva 3124 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = 0 ) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
6665rexbidv 3191 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑛)) = 0 )))
6749, 66mpbird 247 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑛𝑘))))) = 0 ))
684, 5, 11, 67mptnn0fsuppd 13013 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘) · (𝑦 decompPMat (𝑙𝑘)))))) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3341   class class class wbr 4805   ↦ cmpt 4882  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↦ cmpt2 6817  Fincfn 8124   finSupp cfsupp 8443  0cc0 10149   < clt 10287   − cmin 10479  ℕ0cn0 11505  ...cfz 12540  Basecbs 16080  .rcmulr 16165  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Ringcrg 18768  Poly1cpl1 19770  coe1cco1 19771   Mat cmat 20436   decompPMat cdecpmat 20790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-psr 19579  df-mpl 19581  df-opsr 19583  df-psr1 19773  df-ply1 19775  df-coe1 19776  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mamu 20413  df-mat 20437  df-decpmat 20791 This theorem is referenced by:  pm2mpmhmlem2  20847
 Copyright terms: Public domain W3C validator