MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decnncl 11730
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl 𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 dfdec10 11709 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 10nn0 11728 . . 3 10 ∈ ℕ0
3 decnncl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decnncl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
52, 3, 4numnncl 11719 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
61, 5eqeltri 2835 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  0cn0 11504  cdc 11705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-dec 11706
This theorem is referenced by:  11prm  16044  13prm  16045  17prm  16046  19prm  16047  23prm  16048  37prm  16050  43prm  16051  83prm  16052  139prm  16053  163prm  16054  317prm  16055  631prm  16056  1259lem1  16060  1259lem2  16061  1259lem3  16062  1259lem4  16063  1259lem5  16064  1259prm  16065  2503lem1  16066  2503lem2  16067  2503lem3  16068  2503prm  16069  4001lem1  16070  4001lem2  16071  4001lem3  16072  4001lem4  16073  4001prm  16074  ocndx  16282  ocid  16283  dsndx  16284  dsid  16285  unifndx  16286  unifid  16287  odrngstr  16288  ressds  16295  homndx  16296  homid  16297  ccondx  16298  ccoid  16299  resshom  16300  ressco  16301  imasvalstr  16334  prdsvalstr  16335  oppchomfval  16595  oppcbas  16599  rescco  16713  catstr  16838  ipostr  17374  mgpds  18719  srads  19408  cnfldstr  19970  ressunif  22287  tuslem  22292  tmslem  22508  mcubic  24794  cubic2  24795  cubic  24796  quart1cl  24801  quart1lem  24802  quart1  24803  quartlem1  24804  quartlem2  24805  log2ub  24896  log2le1  24897  birthday  24901  bposlem8  25236  bposlem9  25237  pntlemd  25503  pntlema  25505  pntlemb  25506  pntlemf  25514  pntlemo  25516  itvndx  25559  lngndx  25560  itvid  25561  lngid  25562  trkgstr  25563  ttgval  25975  ttglem  25976  ttgds  25981  eengstr  26080  edgfid  26089  edgfndxnn  26090  edgfndxid  26091  baseltedgf  26092  257prm  42001  fmtno4prmfac  42012  fmtno4prmfac193  42013  fmtno4nprmfac193  42014  fmtno5nprm  42023  139prmALT  42039  127prm  42043  3exp4mod41  42061  41prothprmlem2  42063  bgoldbtbndlem1  42221  tgblthelfgott  42231  tgoldbachlt  42232  tgoldbach  42233  bgoldbachltOLD  42235  tgblthelfgottOLD  42237  tgoldbachltOLD  42238  tgoldbachOLD  42240
  Copyright terms: Public domain W3C validator