MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 11748
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a 𝐴 ∈ ℕ
declti.b 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l 𝐶 < 10
Assertion
Ref Expression
declti 𝐶 < 𝐴𝐵

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 11716 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declti.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ
3 declti.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declti.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 declti.l . . 3 𝐶 < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 11747 . 2 𝐶 < ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7 dfdec10 11699 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7breqtrri 4813 1 𝐶 < 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  cdc 11695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696
This theorem is referenced by:  decltdi  11749  fsumcube  14997  5prm  16022  7prm  16024  11prm  16029  13prm  16030  17prm  16031  19prm  16032  23prm  16033  37prm  16035  43prm  16036  83prm  16037  139prm  16038  163prm  16039  317prm  16040  631prm  16041  1259lem5  16049  2503prm  16054  4001prm  16059  ressds  16281  resshom  16286  ressco  16287  slotsbhcdif  16288  oppcbas  16585  rescbas  16696  rescabs  16700  catstr  16824  mgpds  18707  srads  19401  thlbas  20257  ressunif  22286  tuslem  22291  setsmsds  22501  tmslem  22507  tnglem  22664  tngds  22672  log2le1  24898  bpos1  25229  bposlem9  25238  trkgstr  25564  ttgbas  25978  ttgplusg  25979  ttgvsca  25981  eengstr  26081  baseltedgf  26093  zlmds  30348  hgt750lem  31069  257prm  42001  fmtno4prmfac193  42013  fmtno5nprm  42023  139prmALT  42039  127prm  42043  tgblthelfgott  42231
  Copyright terms: Public domain W3C validator