MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declt 11731
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c 𝐶 ∈ ℕ
declt.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
declt 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶

Proof of Theorem declt
StepHypRef Expression
1 10nn 11715 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declt.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 declt.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declt.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ
5 declt.l . . 3 𝐵 < 𝐶
61, 2, 3, 4, 5numlt 11728 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵) < ((10 · 𝐴) + 𝐶)
7 dfdec10 11698 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 dfdec10 11698 . 2 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
96, 7, 83brtr4i 4814 1 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cn 11221  0cn0 11493  cdc 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-dec 11695
This theorem is referenced by:  23prm  16032  37prm  16034  43prm  16035  83prm  16036  163prm  16038  317prm  16039  1259prm  16049  2503lem3  16052  odrngstr  16273  slotsbhcdif  16287  imasvalstr  16319  prdsvalstr  16320  oppchomfval  16580  oppcbas  16584  rescco  16698  catstr  16823  ipostr  17360  cnfldstr  19962  cnfldfun  19972  thlle  20257  log2ub  24896  bpos1  25228  trkgstr  25563  ttgval  25975  ttglem  25976  ttgds  25981  eengstr  26080  hgt750lem  31063  257prm  41991  fmtno4nprmfac193  42004  31prm  42030  127prm  42033  evengpoap3  42205  nnsum4primesevenALTV  42207  tgblthelfgott  42221  tgblthelfgottOLD  42227
  Copyright terms: Public domain W3C validator