MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declecOLD 11768
Description: Obsolete version of decleh 11765 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
decleOLD.1 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3 𝐶 ∈ ℕ0
declecOLD.4 𝐷 ∈ ℕ0
declecOLD.5 𝐶 ≤ 9
declecOLD.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
declecOLD 𝐴𝐶𝐵𝐷

Proof of Theorem declecOLD
StepHypRef Expression
1 decleOLD.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 decleOLD.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11736 . . 3 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
43nn0rei 11527 . 2 𝐴𝐶 ∈ ℝ
5 decleOLD.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
6 declecOLD.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11736 . . 3 𝐵𝐷 ∈ ℕ0
87nn0rei 11527 . 2 𝐵𝐷 ∈ ℝ
9 declecOLD.5 . . . 4 𝐶 ≤ 9
102nn0zi 11626 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
11 9nn0 11540 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
1211nn0zi 11626 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
13 zleltp1 11652 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1)))
1410, 12, 13mp2an 673 . . . . 5 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1))
15 9p1e10OLD 11383 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
1615breq2i 4805 . . . . 5 (𝐶 < (9 + 1) ↔ 𝐶 < 10)
1714, 16bitri 265 . . . 4 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < 10)
189, 17mpbi 221 . . 3 𝐶 < 10
19 declecOLD.6 . . 3 𝐴 < 𝐵
201, 5, 2, 6, 18, 19decltcOLD 11757 . 2 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷
214, 8, 20ltleii 10383 1 𝐴𝐶𝐵𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wcel 2148   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  9c9 11300  10c10 11301  0cn0 11516  cz 11601  cdc 11717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-10OLD 11310  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator