Theorem declecOLD 11582

Description: Obsolete version of decleh 11579 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
decleOLD.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declecOLD.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
declecOLD.5	⊢ 𝐶 ≤ 9
declecOLD.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
declecOLD	⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Proof of Theorem declecOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decleOLD.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decleOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11550	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 11341	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℝ
5		decleOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		declecOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11550	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 11341	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℝ
9		declecOLD.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 9
10	2	nn0zi 11440	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
11		9nn0 11354	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12	11	nn0zi 11440	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
13		zleltp1 11466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1)))
14	10, 12, 13	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1))
15		9p1e10OLD 11197	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = 10
16	15	breq2i 4693	. . . . 5 ⊢ (𝐶 < (9 + 1) ↔ 𝐶 < 10)
17	14, 16	bitri 264	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < 10)
18	9, 17	mpbi 220	. . 3 ⊢ 𝐶 < 10
19		declecOLD.6	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
20	1, 5, 2, 6, 18, 19	decltcOLD 11571	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
21	4, 8, 20	ltleii 10198	1 ⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113  9c9 11115  10c10 11116  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ;cdc 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532

This theorem is referenced by: (None)