Theorem declecOLD 11768

Description: Obsolete version of decleh 11765 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
decleOLD.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declecOLD.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
declecOLD.5	⊢ 𝐶 ≤ 9
declecOLD.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
declecOLD	⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Proof of Theorem declecOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decleOLD.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decleOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11736	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 11527	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℝ
5		decleOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		declecOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11736	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 11527	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℝ
9		declecOLD.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 9
10	2	nn0zi 11626	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
11		9nn0 11540	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12	11	nn0zi 11626	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
13		zleltp1 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1)))
14	10, 12, 13	mp2an 673	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1))
15		9p1e10OLD 11383	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = 10
16	15	breq2i 4805	. . . . 5 ⊢ (𝐶 < (9 + 1) ↔ 𝐶 < 10)
17	14, 16	bitri 265	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < 10)
18	9, 17	mpbi 221	. . 3 ⊢ 𝐶 < 10
19		declecOLD.6	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
20	1, 5, 2, 6, 18, 19	decltcOLD 11757	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
21	4, 8, 20	ltleii 10383	1 ⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ↔ wb 197   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297   ≤ cle 10298  9c9 11300  10c10 11301  ℕ₀cn0 11516  ℤcz 11601  ;cdc 11717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-10OLD 11310  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718

This theorem is referenced by: (None)