MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declecOLD 11582
Description: Obsolete version of decleh 11579 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
decleOLD.1 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3 𝐶 ∈ ℕ0
declecOLD.4 𝐷 ∈ ℕ0
declecOLD.5 𝐶 ≤ 9
declecOLD.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
declecOLD 𝐴𝐶𝐵𝐷

Proof of Theorem declecOLD
StepHypRef Expression
1 decleOLD.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 decleOLD.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11550 . . 3 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
43nn0rei 11341 . 2 𝐴𝐶 ∈ ℝ
5 decleOLD.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
6 declecOLD.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11550 . . 3 𝐵𝐷 ∈ ℕ0
87nn0rei 11341 . 2 𝐵𝐷 ∈ ℝ
9 declecOLD.5 . . . 4 𝐶 ≤ 9
102nn0zi 11440 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
11 9nn0 11354 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
1211nn0zi 11440 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
13 zleltp1 11466 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1)))
1410, 12, 13mp2an 708 . . . . 5 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1))
15 9p1e10OLD 11197 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
1615breq2i 4693 . . . . 5 (𝐶 < (9 + 1) ↔ 𝐶 < 10)
1714, 16bitri 264 . . . 4 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < 10)
189, 17mpbi 220 . . 3 𝐶 < 10
19 declecOLD.6 . . 3 𝐴 < 𝐵
201, 5, 2, 6, 18, 19decltcOLD 11571 . 2 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷
214, 8, 20ltleii 10198 1 𝐴𝐶𝐵𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  9c9 11115  10c10 11116  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator