Theorem decleOLD 11756

Description: Obsolete version of decle 11753 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
decleOLD.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decleOLD.4	⊢ 𝐵 ≤ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decleOLD	⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decleOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decleOLD.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
2		decleOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 11516	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		decleOLD.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	4	nn0rei 11516	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		10reOLD 11322	. . . . 5 ⊢ 10 ∈ ℝ
7		decleOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 11516	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	6, 8	remulcli 10267	. . . 4 ⊢ (10 · 𝐴) ∈ ℝ
10	3, 5, 9	leadd2i 10797	. . 3 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ((10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((10 · 𝐴) + 𝐶))
11	1, 10	mpbi 220	. 2 ⊢ ((10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((10 · 𝐴) + 𝐶)
12		dfdecOLD 11708	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
13		dfdecOLD 11708	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
14	11, 12, 13	3brtr4i 4835	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815   + caddc 10152   · cmul 10154   ≤ cle 10288  10c10 11291  ℕ₀cn0 11505  ;cdc 11706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-10OLD 11300  df-n0 11506  df-dec 11707

This theorem is referenced by: (None)