MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decexp2 15986
Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2 (𝑀 + 2) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
decexp2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 11293 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 2nn0 11511 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
3 decexp2.1 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
42, 3nn0expcli 13093 . . . . . 6 (2↑𝑀) ∈ ℕ0
54nn0cni 11506 . . . . 5 (2↑𝑀) ∈ ℂ
61, 5mulcli 10247 . . . 4 (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7 expp1 13074 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
81, 3, 7mp2an 672 . . . . . 6 (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
95, 1mulcomi 10248 . . . . . 6 ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
108, 9eqtr2i 2794 . . . . 5 (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
1110oveq1i 6803 . . . 4 ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
126, 1, 11mulcomli 10249 . . 3 (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
134decbin0 11883 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14 peano2nn0 11535 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
153, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16 expp1 13074 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
171, 15, 16mp2an 672 . . 3 (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
1812, 13, 173eqtr4i 2803 . 2 (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19 4nn0 11513 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019, 4nn0mulcli 11533 . . . 4 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
2120nn0cni 11506 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
2221addid1i 10425 . 2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
233nn0cni 11506 . . . . 5 𝑀 ∈ ℂ
24 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2523, 24, 24addassi 10250 . . . 4 ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26 df-2 11281 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2726oveq2i 6804 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28 decexp2.2 . . . 4 (𝑀 + 2) = 𝑁
2925, 27, 283eqtr2ri 2800 . . 3 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
3029oveq2i 6804 . 2 (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
3118, 22, 303eqtr4i 2803 1 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  4c4 11274  0cn0 11494  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator