Theorem deccl 11704

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 11686	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 11508	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11500	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 11522	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 11702	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  9c9 11269  ℕ₀cn0 11484  ;cdc 11685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-dec 11686

This theorem is referenced by:  10nn0  11708  3declth  11729  3decltc  11730  3decltcOLD  11731  decleh  11733  declecOLD  11736  sq10  13242  bpoly4  14989  fsumcube  14990  3dvds2dec  15258  3dvds2decOLD  15259  dec2dvds  15969  dec5dvds2  15971  2exp8  15998  2exp16  15999  prmlem2  16029  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  1259lem1  16040  1259lem2  16041  1259lem3  16042  1259lem4  16043  1259lem5  16044  1259prm  16045  2503lem1  16046  2503lem2  16047  2503lem3  16048  2503prm  16049  4001lem1  16050  4001lem2  16051  4001lem3  16052  4001lem4  16053  4001prm  16054  slotsbhcdif  16282  cnfldfun  19960  tnglem  22645  quart1cl  24780  quart1lem  24781  quart1  24782  log2ublem3  24874  log2ub  24875  log2le1  24876  birthday  24880  bpos1  25207  bpos  25217  1kp2ke3k  27614  dp3mul10  29915  dpmul1000  29916  dpadd  29928  dpmul  29930  dpmul4  29931  hgt750lemd  31035  hgt750lem  31038  hgt750lem2  31039  hgt750leme  31045  tgoldbachgnn  31046  tgoldbachgt  31050  kur14lem9  31503  inductionexd  38955  fmtno3  41973  fmtno4  41974  fmtno5lem1  41975  fmtno5lem2  41976  fmtno5lem3  41977  fmtno5lem4  41978  fmtno5  41979  257prm  41983  fmtno4prmfac  41994  fmtno4nprmfac193  41996  fmtno5faclem1  42001  fmtno5faclem2  42002  fmtno5faclem3  42003  fmtno5fac  42004  fmtno5nprm  42005  139prmALT  42021  31prm  42022  127prm  42025  m7prm  42026  2exp11  42027  m11nprm  42028  evengpoap3  42197  bgoldbachlt  42211  tgoldbachlt  42214  tgoldbachltOLD  42220