MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decbin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decbin2 11895
Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
decbin.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
decbin2 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2
StepHypRef Expression
1 2t1e2 11388 . . 3 (2 · 1) = 2
21oveq2i 6825 . 2 ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3 2cn 11303 . . 3 2 ∈ ℂ
4 decbin.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
54nn0cni 11516 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
63, 5mulcli 10257 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7 ax-1cn 10206 . . 3 1 ∈ ℂ
83, 6, 7adddii 10262 . 2 (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
94decbin0 11894 . . 3 (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
109oveq1i 6824 . 2 ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
112, 8, 103eqtr4ri 2793 1 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  2c2 11282  4c4 11284  0cn0 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505
This theorem is referenced by:  decbin3  11896
  Copyright terms: Public domain W3C validator