MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decaddci 11786
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddci.5 (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddci (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decaddi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11514 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 11729 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 11511 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
87addid1i 10429 . . . 4 (𝐴 + 0) = 𝐴
98oveq1i 6806 . . 3 ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10 decaddci.5 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐷
119, 10eqtri 2793 . 2 ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12 decaddci.6 . 2 𝐶 ∈ ℕ0
13 decaddci.7 . 2 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 11778 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  0cn0 11499  cdc 11700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-dec 11701
This theorem is referenced by:  decaddci2  11787  decaddci2OLD  11788  6t4e24  11849  7t3e21  11855  7t5e35  11857  7t6e42  11858  8t3e24  11861  8t4e32  11862  8t7e56  11867  8t8e64  11868  9t3e27  11870  9t4e36  11871  9t5e45  11872  9t6e54  11873  9t7e63  11874  9t8e72  11875  9t9e81  11876  2exp8  16003  prmlem2  16034  43prm  16036  83prm  16037  317prm  16040  631prm  16041  1259lem1  16045  1259lem2  16046  1259lem3  16047  1259lem4  16048  1259lem5  16049  2503lem1  16051  2503lem2  16052  2503lem3  16053  4001lem1  16055  4001lem2  16056  4001lem4  16058  log2ublem3  24896  log2ub  24897  ex-exp  27649  hgt750lem2  31070  fmtno5lem1  41990  fmtno5lem4  41993  257prm  41998  fmtno4nprmfac193  42011  fmtno5fac  42019  127prm  42040  2exp11  42042
  Copyright terms: Public domain W3C validator