MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2nprm 15994
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5nprm.1 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dec2nprm ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 11401 . . . 4 5 ∈ ℕ
2 dec5nprm.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 11257 . . 3 (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4 dec2nprm.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 nnnn0addcl 11536 . . 3 (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
63, 4, 5mp2an 710 . 2 ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7 2nn 11398 . 2 2 ∈ ℕ
8 1nn0 11521 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 1lt5 11416 . . 3 1 < 5
101, 2, 4, 8, 9numlti 11758 . 2 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11 1lt2 11407 . 2 1 < 2
121nncni 11243 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
132nncni 11243 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
14 2cn 11304 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1512, 13, 14mul32i 10445 . . . . 5 ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16 5t2e10 11847 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1716oveq1i 6825 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
1815, 17eqtri 2783 . . . 4 ((5 · 𝐴) · 2) = (10 · 𝐴)
19 dec2nprm.3 . . . 4 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19oveq12i 6827 . . 3 (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
213nncni 11243 . . . 4 (5 · 𝐴) ∈ ℂ
224nn0cni 11517 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2321, 22, 14adddiri 10264 . . 3 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24 dfdec10 11710 . . 3 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
2520, 23, 243eqtr4i 2793 . 2 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = 𝐴𝐶
266, 7, 10, 11, 25nprmi 15625 1 ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2140  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cn 11233  2c2 11283  5c5 11286  0cn0 11505  cdc 11706  cprime 15608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-prm 15609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator