Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ddemeas 30629
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21rexri 10309 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 0le1 10763 . . . . . 6 0 ≤ 1
4 pnfge 12177 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ +∞
6 0xr 10298 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
7 pnfxr 10304 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
8 elicc1 12432 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
96, 7, 8mp2an 710 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
102, 3, 5, 9mpbir3an 1427 . . . . 5 1 ∈ (0[,]+∞)
11 0e0iccpnf 12496 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1210, 11keepel 4299 . . . 4 if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
1312rgenw 3062 . . 3 𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
14 df-dde 30626 . . . 4 δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
1514fmpt 6545 . . 3 (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
1613, 15mpbi 220 . 2 δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
17 0ss 4115 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
18 noel 4062 . . 3 ¬ 0 ∈ ∅
19 ddeval0 30628 . . 3 ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
2017, 18, 19mp2an 710 . 2 (δ‘∅) = 0
21 rabxm 4104 . . . . . . . . 9 𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
22 esumeq1 30426 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
24 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
25 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
26 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
27 rabexg 4963 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28 rabexg 4963 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
29 rabnc 4105 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
31 elrabi 3499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3231adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
33 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
34 elelpwi 4315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3532, 33, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3616ffvelrni 6522 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
38 elrabi 3499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
40 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
4139, 40, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
4241, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4324, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42esumsplit 30445 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4423, 43syl5eq 2806 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4544adantr 472 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
46 esumeq1 30426 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
4746adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
48 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
49 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
5049rabsnel 29669 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘𝑥)
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘𝑥)
52 eleq2w 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
5349, 52rabsnt 4410 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
55 elelpwi 4315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5655ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5756adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
58 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
5958fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
6116ffvelrni 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
6259, 60, 61esumsn 30457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6357, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6457elpwid 4314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
65 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
66 ddeval1 30627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
6764, 65, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
6863, 67eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
6948, 51, 54, 68syl12anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
7047, 69eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
71 df-disj 4773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦)
72 c0ex 10246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
73 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
7473rmobidv 3270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 ↔ ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7572, 74spcv 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
7671, 75sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
77 rmo5 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7877biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7978imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
8076, 79sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
81 reusn 4406 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8280, 81sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
83 eleq2w 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
8483cbvrabv 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
8584eqeq1i 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8650ancri 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8785, 86sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8887eximi 1911 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89 df-rex 3056 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
9088, 89sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9182, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9291adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9370, 92r19.29a 3216 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
94 elpwi 4312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
95 sspwuni 4763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
9694, 95sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
97 eluni2 4592 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
9897biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ 𝑥)
99 ddeval1 30627 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10096, 98, 99syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
101100adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10293, 101eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
103 nfre1 3143 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
104103nfn 1933 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
10583elrab 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106105exbii 1923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
107 neq0 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
108 df-rex 3056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
109106, 107, 1083bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
110109biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
111110con1i 144 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
112104, 111esumeq1d 30427 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
113 esumnul 30440 . . . . . . . . . . 11 Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
114112, 113syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115114adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
11697biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
117116con3i 150 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ 𝑥)
118 ddeval0 30628 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 0)
11996, 117, 118syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
120119adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
121115, 120eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
122102, 121pm2.61dan 867 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
12341elpwid 4314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
12483notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125124elrab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
126125simprbi 483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127126adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
128 ddeval0 30628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
129123, 127, 128syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
130129esumeq2dv 30430 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
131 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
132131rabex 4964 . . . . . . . . . 10 {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
13326esum0 30441 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
135130, 134syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136135adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
137122, 136oveq12d 6832 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0))
138 vuniex 7120 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
139138elpw 4308 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
140139biimpri 218 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
141 iccssxr 12469 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14216ffvelrni 6522 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
143141, 142sseldi 3742 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ ℝ*)
144 xaddid1 12285 . . . . . . . 8 ((δ‘ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14596, 140, 143, 1444syl 19 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
146145adantr 472 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14745, 137, 1463eqtrrd 2799 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
148147adantrl 754 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
149148ex 449 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))
150149rgen 3060 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
151 reex 10239 . . . 4 ℝ ∈ V
152 pwsiga 30523 . . . 4 (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
153151, 152ax-mp 5 . . 3 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
154 elrnsiga 30519 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra)
155 ismeas 30592 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))))
156153, 154, 155mp2b 10 . 2 (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))))
15716, 20, 150, 156mpbir3an 1427 1 δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  ∃!wreu 3052  ∃*wrmo 3053  {crab 3054  Vcvv 3340  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  cdom 8121  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  *cxr 10285  cle 10287   +𝑒 cxad 12157  [,]cicc 12391  Σ*cesum 30419  sigAlgebracsiga 30500  measurescmeas 30588  δcdde 30625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-ordt 16383  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-plusf 17462  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-abv 19039  df-lmod 19087  df-scaf 19088  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-tsms 22151  df-trg 22184  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-ii 22901  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-esum 30420  df-siga 30501  df-meas 30589  df-dde 30626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator