MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 25232
Description: Lemma for dchrvmasum 25259. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 10093 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 12316 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
42, 3sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
54simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 fzfid 12812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9 elfznn 12408 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
109nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 11894 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
13 relogcl 24367 . . . . . . 7 ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+ → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
158adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1614, 15rerpdivcld 11941 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
177, 16fsumrecl 14509 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
186, 17remulcld 10108 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
19 dchrvmasum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
20 3nn 11224 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
21 nnrp 11880 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
22 relogcl 24367 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 (log‘3) ∈ ℝ
24 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 10091 . . . . 5 ((log‘3) + 1) ∈ ℝ
26 remulcl 10059 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) + 1) ∈ ℝ) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2719, 25, 26sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
29 rpssre 11881 . . . . 5 + ⊆ ℝ
305recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
31 o1const 14394 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
3229, 30, 31sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
33 logfacrlim2 24996 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
34 rlimo1 14391 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
366, 17, 32, 35o1mul2 14399 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
3727recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ)
38 o1const 14394 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3929, 37, 38sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
4018, 28, 36, 39o1add2 14398 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4118, 28readdcld 10107 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℝ)
42 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
4342ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4443ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
45 dchrvmasum.g . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
4645eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
4746rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+ → (∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ → 𝐾 ∈ ℂ))
4812, 44, 47sylc 65 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
49 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5049ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
5148, 50subcld 10430 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
5251abscld 14219 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
539adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
5452, 53nndivred 11107 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
557, 54fsumrecl 14509 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5655recnd 10106 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
5753nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
5851absge0d 14227 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5952, 57, 58divge0d 11950 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
607, 54, 59fsumge0 14571 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6155, 60absidd 14205 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6261, 55eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6341recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℂ)
6463abscld 14219 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ ℝ)
65 3re 11132 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6665a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
67 1le3 11282 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6866, 67jctir 560 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 3))
6919adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
7024rexri 10135 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
7165rexri 10135 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
72 1lt3 11234 . . . . . . . . . 10 1 < 3
73 lbico1 12266 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) → 1 ∈ (1[,)3))
7470, 71, 72, 73mp3an 1464 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
75 0red 10079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ∈ ℝ)
76 elico2 12275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3)))
7724, 71, 76mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3))
7877simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ)
79 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 ∈ ℝ)
80 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ∈ ℝ)
81 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 1)
8377simp2bi 1097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ≤ 𝑚)
8479, 80, 78, 82, 83ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 𝑚)
8578, 84elrpd 11907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ+)
8649adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
8742, 86subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑇) ∈ ℂ)
8887abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8985, 88sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
9019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9187absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
9285, 91sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
93 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9493r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9575, 89, 90, 92, 94letrd 10232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ 𝑅)
9695ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅)
97 biidd 252 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
9897rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) → (∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
9974, 96, 98mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
10099adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑅)
10169, 100jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
10252recnd 10106 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
1035ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
104103, 16remulcld 10108 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
1054ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
106 log1 24377 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
10753nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
108107mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
109 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
111 fznnfl 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
113112simplbda 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
114108, 113eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
115 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
116109ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
117115, 116, 57lemuldivd 11959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
118114, 117mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
119 1rp 11874 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
121120, 12logled 24418 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))))
122118, 121mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
123106, 122syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
124 rpregt0 11884 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
125124ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
126 divge0 10930 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
12714, 123, 125, 126syl21anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
128 mulge0 10584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
129105, 16, 127, 128syl12anc 1364 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
130 absidm 14107 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑇) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
13151, 130syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
132131adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
133 nndivre 11094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
134110, 9, 133syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
135134adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
136 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))
137 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
13865, 137ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
139135, 136, 138sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
140 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
141140ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
142141ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
14345oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹𝑇) = (𝐾𝑇))
144143fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘(𝐹𝑇)) = (abs‘(𝐾𝑇)))
145 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑥 / 𝑑)))
146 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝑚 = (𝑥 / 𝑑))
147145, 146oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((log‘𝑚) / 𝑚) = ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))
148147oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
149144, 148breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))))
150149rspcv 3336 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) → (∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))))
151139, 142, 150sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
15214recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ)
153 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
154153ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
15557rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
156 divdiv2 10775 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
157152, 154, 155, 156syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
158 div23 10742 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
159152, 107, 154, 158syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
160157, 159eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
161160oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
16230ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
16316recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℂ)
164162, 163, 107mulassd 10101 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
165161, 164eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
166165adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
167151, 166breqtrd 4711 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
168132, 167eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
169131adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
170134adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
171118adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
172 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) < 3)
173 elico2 12275 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3)))
17424, 71, 173mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3))
175170, 171, 172, 174syl3anbrc 1265 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3))
17693ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
177144breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅))
178177rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) → (∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅 → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅))
179175, 176, 178sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅)
180169, 179eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ 𝑅)
1818, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180fsumharmonic 24783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
18230adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
1837, 182, 163fsummulc2 14560 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
184183oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
185181, 184breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
18641leabsd 14197 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
18762, 41, 64, 185, 186letrd 10232 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
188187adantrr 753 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
1891, 40, 41, 56, 188o1le 14427 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  3c3 11109  +crp 11870  [,)cico 12215  ...cfz 12364  cfl 12631  abscabs 14018  𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  logclog 24346  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-em 24764
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  25233
  Copyright terms: Public domain W3C validator