MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem1 25375
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6344 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐿𝑛) = (𝐿‘(𝑑 · 𝑚)))
21fveq2d 6348 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
3 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) = ((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)))
4 oveq1 6812 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑛 / 𝑑) = ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))
54fveq2d 6348 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))
63, 5oveq12d 6823 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))))
72, 6oveq12d 6823 . . 3 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
8 dchrvmasum.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
98rpred 12057 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
11 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
12 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
13 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
14 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
16 elfzelz 12527 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1716adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 25161 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
1918adantrr 755 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
20 elrabi 3491 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
2120ad2antll 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
22 mucl 25058 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2423zred 11666 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
25 elfznn 12555 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2625ad2antrl 766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑛 ∈ ℕ)
2724, 26nndivred 11253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℝ)
2827recnd 10252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℂ)
2926nnrpd 12055 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3021nnrpd 12055 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑑 ∈ ℝ+)
3129, 30rpdivcld 12074 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3231relogcld 24560 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
3332recnd 10252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
3428, 33mulcld 10244 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
3519, 34mulcld 10244 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
367, 9, 35dvdsflsumcom 25105 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
37 vmaf 25036 . . . . . . . . . . . . 13 Λ:ℕ⟶ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
39 ax-resscn 10177 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
40 fss 6209 . . . . . . . . . . . 12 ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
4138, 39, 40sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℂ)
42 vmasum 25132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
4443eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘𝑚) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖))
4544mpteq2dva 4888 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖)))
4641, 45muinv 25110 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Λ = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))))
4746fveq1d 6346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Λ‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛))
48 sumex 14609 . . . . . . . . . 10 Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
49 eqid 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
5049fvmpt2 6445 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
5125, 48, 50sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
5247, 51sylan9eq 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
53 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝑛𝑑𝑛))
5453elrab 3496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑛))
5554simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} → 𝑑𝑛)
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑑𝑛)
5725adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
58 nndivdvds 15183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
5957, 20, 58syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (𝑑𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ)
61 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
62 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))
63 fvex 6354 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
6461, 62, 63fvmpt 6436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
6560, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
6665oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6766sumeq2dv 14624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6852, 67eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6968oveq1d 6820 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
70 fzfid 12958 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
71 dvdsssfz1 15234 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ (1...𝑛))
7257, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ (1...𝑛))
73 ssfi 8337 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ∈ Fin)
7470, 72, 73syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ∈ Fin)
7557nncnd 11220 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
7623zcnd 11667 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7776anassrs 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7833anassrs 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
7977, 78mulcld 10244 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
8057nnne0d 11249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
8174, 75, 79, 80fsumdivc 14709 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
8220adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑑 ∈ ℕ)
8382, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
8483zcnd 11667 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
8575adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑛 ∈ ℂ)
8680adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑛 ≠ 0)
8784, 78, 85, 86div23d 11022 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
8887sumeq2dv 14624 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
8969, 81, 883eqtrd 2790 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
9089oveq2d 6821 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
9134anassrs 683 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
9274, 18, 91fsummulc2 14707 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
9390, 92eqtrd 2786 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
9493sumeq2dv 14624 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
95 fzfid 12958 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
9614adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
97 elfzelz 12527 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
9897adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
9910, 11, 12, 13, 96, 98dchrzrhcl 25161 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
100 fznnfl 12847 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝐴)))
1019, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝐴)))
102101simprbda 654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
103102, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
104103zred 11666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
105104, 102nndivred 11253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
106105recnd 10252 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
10799, 106mulcld 10244 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
10814ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
109 elfzelz 12527 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
110109adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
11110, 11, 12, 13, 108, 110dchrzrhcl 25161 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
112 elfznn 12555 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
113112adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
114113nnrpd 12055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
115114relogcld 24560 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
116115, 113nndivred 11253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
117116recnd 10252 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
118111, 117mulcld 10244 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
11995, 107, 118fsummulc2 14707 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
12099adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
121106adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
122120, 121, 111, 117mul4d 10432 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
12397ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
12410, 11, 12, 13, 108, 123, 110dchrzrhmul 25162 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))))
125104adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
126125recnd 10252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
127115recnd 10252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
128102nnrpd 12055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
129128adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
130129, 114rpmulcld 12073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 · 𝑚) ∈ ℝ+)
131130rpcnne0d 12066 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0))
132 div23 10888 . . . . . . . . 9 (((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0)) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
133126, 127, 131, 132syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
134129rpcnne0d 12066 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
135114rpcnne0d 12066 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
136 divmuldiv 10909 . . . . . . . . 9 ((((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
137126, 127, 134, 135, 136syl22anc 1474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
138113nncnd 11220 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
139129rpcnd 12059 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
140129rpne0d 12062 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
141138, 139, 140divcan3d 10990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑) = 𝑚)
142141fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)) = (log‘𝑚))
143142oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
144133, 137, 1433eqtr4rd 2797 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
145124, 144oveq12d 6823 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
146122, 145eqtr4d 2789 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
147146sumeq2dv 14624 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
148119, 147eqtrd 2786 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
149148sumeq2dv 14624 . 2 (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
15036, 94, 1493eqtr4d 2796 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046  Vcvv 3332  wss 3707   class class class wbr 4796  cmpt 4873  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  cle 10259   / cdiv 10868  cn 11204  cz 11561  +crp 12017  ...cfz 12511  cfl 12777  Σcsu 14607  cdvds 15174  Basecbs 16051  0gc0g 16294  ℤRHomczrh 20042  ℤ/nczn 20045  logclog 24492  Λcvma 25009  μcmu 25012  DChrcdchr 25148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-qus 16363  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-nsg 17785  df-eqg 17786  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-rnghom 18909  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-sra 19366  df-rgmod 19367  df-lidl 19368  df-rsp 19369  df-2idl 19426  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-zring 20013  df-zrh 20046  df-zn 20049  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-vma 25015  df-mu 25018  df-dchr 25149
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  25377
  Copyright terms: Public domain W3C validator